Extensión cuadrática del campo finito

Question

Supongamos que $K,L$ son campos finitos con $|K|=p^n$ y el $L$ es una extensión cuadrática sobre $K$ es decir $|L| = p^{2n}$ . Intento demostrar que para cualquier elemento de la extensión $\alpha\in L$ que $\alpha^{p^n+1} \in K$ y además que cada elemento de $K$ es del puede representarse como $\alpha^{p^n+1}$ para $\alpha\in L$ . Además, quiero demostrar que si un elemento en $\beta \in K$ es un generador de $K^*$ , es decir, tiene orden $p^n-1$ entonces hay un generador $\alpha\in L$ , es decir, de orden $(p^n)^2-1$ , de tal manera que $\alpha^{p^n+1}=\beta$ .

He probado esto con ejemplos concretos con $p=2,3$ y $n=1,2$ pero realmente no pude obtener mucha información de eso. No estoy seguro de si es necesario dividir esto en casos o algo así. Sé que desde la extensión que es cuadrática cada elemento $\alpha \in L$ satisface algún polinomio cuadrático irreducible en $K$ . Es decir $\alpha^2+b\alpha+c=0$ para algunos $b,c \in K$ . No estoy seguro de si tengo que especificar si $p$ debe ser impar, pero el libro no parece hacerlo. Más cosas que probé con la suposición de impar fue $\alpha^{p^n+1}=(\alpha^2)^{(p^n+1)/2}= (b\alpha+c)^{(p^n+1)/2}$ para algunos $b,c \in K$ . Sin embargo, esto no parece llevar a ningún sitio útil.

Además, aunque haya asumido la primera parte y la parte adicional, me sigue confundiendo la "parte adicional". Por la parte de "además $\beta$ tiene alguna representación como $\alpha^{p^n+1}$ . Sabemos que $\beta^{p^n-1}=1$ así $(\alpha^{p^n+1})^{p^n-1}=\alpha^{p^{2n}-1}=1$ . Supongamos, sin embargo, que el orden de $\alpha$ era un número menor $d|p^{2n}-1$ es decir $\alpha^d=1$ . Entonces $\beta^d=(\alpha^{p^n+1})^d=(\alpha^d)^{p^n+1}=1$ . Pero como $\beta$ es un generador de $K$ el $d$ debe ser un múltiplo de $p^n-1$ que sí divide $p^{2n}-1$ con el resto $p^n+1$ . Así que parece que $\alpha$ se permite tener orden $p^n-1$ . Esto significaría, sin embargo, que $\beta=\alpha^{p^n+1}=\alpha^{p^n-1}\alpha^2=\alpha^2$ . Sin embargo, no estoy seguro de a dónde ir desde allí, ni siquiera estoy seguro de si esta es la dirección correcta.

Answer 1

Dejemos que $q = p^n$ .

Las raíces del polinomio $x^q - x$ son precisamente los elementos de $\mathbb{F}_q$ . Si $\alpha \in \mathbb{F}_{q^2}$ entonces $\alpha^{q^2} - \alpha = 0$ y

$$ \left(\alpha^{q+1}\right)^q = \alpha^{q^2 + q} = \alpha^{q^2} \cdot \alpha^q = \alpha \cdot \alpha^q = \alpha^{q+1} $$

Por lo tanto, $\alpha^{q+1} \in \mathbb{F}_q$ .

En general, dada una extensión finita $L/K$ de campos, existe el concepto de norma (sobre $K$ ) de un elemento de $L$ que es el producto de todos sus conjugados, y es un elemento de $K$ . Si $K = \mathbb{F}_q$ los conjugados de cualquier elemento se obtienen elevándolo repetidamente al $q$ - de la energía.

En este caso, tenemos una extensión cuadrática, por lo que

$$N(\alpha) = \alpha^q \cdot \alpha = \alpha^{q+1}$$

lo que da otra prueba de que $\alpha^{q+1} \in \mathbb{F}_q$ .

Para ver que cada elemento de $\mathbb{F}_q$ es una norma, es decir, un $(q+1)$ -potencia de un elemento en $\mathbb{F}_{q^2}$ -- podemos apelar de nuevo a las ecuaciones polinómicas. Cada $\alpha \in \mathbb{F}_{q^2}$ es una raíz de alguna ecuación

$$ f_\beta(x) = x^{q+1} - \beta = 0 $$

y cada una de estas ecuaciones tiene como máximo $q+1$ raíces. $f_0(x)$ tiene una sola raíz $0$ con multiplicidad $q+1$ . El resto $q^2 - 1 = (q-1)(q+1)$ elementos de $\mathbb{F}_{q^2}$ se distribuyen entre los polinomios correspondientes a los restantes $q-1$ valores para $\beta$ con cada $f_\beta$ teniendo como máximo $q+1$ de ellos. Un argumento de conteo muestra así que cada $f_\beta(x)$ con $\beta \neq 0$ debe tener exactamente $q+1$ raíces distintas en $\mathbb{F}_{q^2}$ .

Podríamos (como han demostrado las otras respuestas) argumentar utilizando el hecho de que el grupo unidad de $\mathbb{F}_{q^2}$ es cíclico.

Teniendo la idea de la norma, es fácil generalizar a extensiones finitas arbitrarias de $\mathbb{F}_q$ la norma de un elemento de $\mathbb{F}_{q^n}$ es

$$ N(\alpha) = \alpha \cdot \alpha^q \cdot \ldots \cdot \alpha^{q^{n-1}} = \alpha^{(q^n-1) / (q-1)}$$

Por supuesto, esto también podría haberse descubierto utilizando el hecho de que el grupo unitario es cíclico.

(Para las extensiones $L/K$ de campos arbitrarios, no siempre es cierto que cada elemento de $K$ es una norma)

Answer 2

Trabajo en curso

La prueba de fuego para decidir si un elemento $\beta$ en un campo de extensión $L = \mathbb F_{q^m}$ pertenece al campo base $K = \mathbb F_q$ es comprobar si $\beta^q = \beta$ o no. Si $\beta^q = \beta$ entonces $\beta \in K$ ; si no $\beta \notin K$ . En su caso, $m = 2$ . Dado cualquier $\alpha \in L = \mathbb{F}_{q^2}$ , escribir $\alpha^{q+1} = \beta$ y observe que $$\beta^q = \left(\alpha^{q+1}\right)^q = \alpha^{q^2+q} = \alpha^{q^2}\cdot\alpha^q = \alpha\cdot\alpha^q = \beta$$ donde hemos utilizado la prueba de fuego $\alpha^{q^2}\stackrel{?}{=}\alpha$ para ser miembro de $\mathbb F_{q^2}$ para afirmar que $\alpha^{q^2} = \alpha$ . La aplicación de la prueba de fuego para la pertenencia a $\mathbb F_q$ a $\beta = \alpha^{q+1}$ tenemos que $\alpha^{q+1} \in \mathbb F_q$ para todos $\alpha \in \mathbb F_{q^2}$ . En otras palabras, la función $x \mapsto x^{q+1}$ mapas $L=\mathbb F_{q^2}$ a $K = \mathbb F_q.$

Volviendo a la cuestión de los órdenes de los elementos, dejemos $\alpha \in L$ denotan un generador de $L^*$ para que ${\mathsf{ord}}(\alpha) = q^2-1$ . Entonces $${\mathsf{ord}}(\alpha^{q+1}) = \frac{{\mathsf{ord}}(\alpha)}{\gcd({\mathsf{ord}}(\alpha),q+1)} = \frac{q^2-1}{\gcd(q^2-1,q+1)} = q-1$$ y así siempre que $\alpha$ es un generador de $L^*$ se mapea mediante la transformación $x \mapsto x^{q+1}$ en $\beta=\alpha^{q+1}$ que es un generador de $K^*$ : generadores de $L^*$ se convierten en generadores de $K^*$ Ahora bien, como $\beta$ genera $K^*$ , cada generador $\gamma$ de $K^*$ puede expresarse como una potencia de $\beta$ es decir, para cada generador $\gamma$ de $K^*$ existe un número entero $k$ relativamente primo a $q-1$ , de tal manera que $\gamma = \beta^k$ . Entonces, $$\left(\alpha^k\right)^{q+1} = \alpha^{k(q+1)} = \left(\alpha^{q+1}\right)^k = \beta^k = \gamma.$$ Es $\alpha^k$ un generador de $K^*$ ? Bueno, $${\tt{ord}}(\alpha^k) = \frac{{\tt{ord}}(\alpha)}{\gcd({\tt{ord}}(\alpha),k)} = \frac{q^2-1}{\gcd(q^2-1,k)}$$

Además, podemos utilizar el hecho de que $\tt{ord}(\alpha) = q^2-1$ para deducir que para cualquier número entero $i$ , $$\left(\alpha^{k+i(q-1)}\right)^{q+1} = \alpha^{k(q+1)+i(q^2-1)} = \alpha^{k(q+1)}\cdot\alpha^{i(q^2-1)} = \alpha^{k(q+1)} = \beta^k = \gamma.$$ Así, el $q+1$ elementos $\alpha^k, \alpha^{k+(q-1)}, \alpha^{k+2(q-1)}, \ldots, \alpha^{k+q(q-1)}$ son los $q+1$ raíces de $x^{q+1} - \gamma \in \mathbb F_q[x]$ . Al menos uno de estos elementos debe ser un generador de $L^*$ . Trabajo en curso

Answer 3

SUGERENCIA:

El grupo multiplicativo de un campo finito es siempre cíclico. Así, $L^\times$ es cíclico de orden $p^{2n}-1=(p^{n}+1)(p^n-1)$ y $K^\times$ se vuelve a obtener como único subgrupo cíclico de orden $p^n-1$ .

Al escribir $L^\times=\langle\gamma\rangle$ y escribir cada elemento como una potencia de $\gamma$ todas las respuestas a sus preguntas deberían ser sencillas.

Answer 4

Mantengo sus anotaciones K, L, q etc. Tenemos una extensión cíclica L/K, y desde la teoría de campos finitos, Gal(L/K) está generada por el automorfismo de Frobenius definido por Fr(x) = $x^q$ para cualquier x en L. El mapa normativo N de L* a K* se define tomando el producto de los conjugados, es decir, N(x) = x. Fr(x) = $x^(q+1)$ . Desde $(Fr)^2$ = Id, es obvio que Fr(N(x)) = N(x), por lo que N(x) pertenece a K, como se desea. Determinemos la imagen de la norma. Dado que N es lo mismo que elevar a la ( q +1)-potencia en el grupo cíclico L*, Ker N tiene orden ( q +1), por lo que Im N tiene un orden $(q^2 - 1)/q + 1$ = q - 1 = orden de K* , es decir, la norma es suryectiva, como se desea.