De este comentario por orlp:
Si sujeto un cohete propulsor a un cohete en el espacio y lo disparo durante un segundo, el trabajo proporcionado es mucho mayor cuando el cohete vuela rápido en comparación con cuando el cohete estaba parado. En ambos casos el cohete se dispara durante la misma duración, pero en el primer caso el cohete recorre una distancia mucho mayor durante este periodo. ¿Qué ocurre?
El punto clave de esta pregunta es que intuitivamente parece que la conservación de la energía no funciona bien. Un cohete es impulsado por una reacción química que libera energía química a un ritmo constante. Entonces, ¿cómo es posible que una tasa constante de liberación de energía conduzca a un mayor aumento de la KE al ir rápido?
Para entender esto, es útil considerar un cohete "modelo de juguete" que funciona según los mismos principios, pero que es más fácil de analizar. En concreto, consideremos una bola de 10 kg (cohete) y una bola de 1 kg (escape) que está unida a un muelle sin masa (combustible).
Supongamos que este muelle tiene suficiente energía almacenada como para que cuando el cohete esté inicialmente en reposo pueda impulsarlo a 1 m/s, y por conservación del momento el escape sea impulsado a -10 m/s. A la inversa, si el cohete comienza a 5 m/s, después de "quemar" el combustible el cohete es impulsado a 6 m/s y el escape se mueve a -5 m/s.
Así que ahora vamos a comprobar la energía. En el primer caso el KE del cohete aumentó de 0 J a 5 J, mientras que en el segundo caso aumentó de 125 J a 180 J. El muelle almacena la misma cantidad de energía en ambos casos, así que ¿por qué el KE aumenta en 5 J a baja velocidad y en 55 J a alta velocidad?
Fíjate en que nos hemos olvidado de calcular la energía que entra en el escape. Este es el error fundamental de la mayoría de estos análisis. En el primer caso el KE del escape aumentó de 0 J a 50 J, mientras que en el segundo caso el KE fue de 12,5 J antes y después. Así que en ambos casos el cambio total en el KE (tanto del cohete como del escape) fue de 55 J.
A bajas velocidades, la mayor parte de la energía del combustible se "desperdicia" en la KE del escape. A velocidades más altas, más energía entra en el cohete y menos en el escape. En un cohete real, ocurre lo mismo de forma continua. Tanto la energía como el momento se conservan y, de hecho, se entrega más potencia al vehículo a medida que aumenta la velocidad con un empuje constante.
Hay múltiples maneras de ver esto.
Lo más sencillo, creo, es que la energía cinética escala con el cuadrado de la velocidad $$K=\frac 12 m v^2$$
Si suponemos que el cohete propulsor proporciona una aceleración constante, al comparar las velocidades inicial y final encontramos que $$\Delta v=v_\text{final}-v_\text{init}=at$$
Así que para la misma cantidad de tiempo, el cambio en la velocidad es el mismo, independientemente de cuál sea la velocidad inicial. Como tenemos una dependencia al cuadrado de la velocidad en $K$ Esto significa que la energía cinética aumenta más si empezamos con una velocidad mayor. $$\Delta K=\frac 12 m v_\text{final}^2-\frac 12 m v_\text{init}^2=\frac 12 m (v_\text{final}-v_\text{init})(v_\text{final}+v_\text{init})=\frac 12 m\, \Delta v (\Delta v+2v_\text{init})$$
Así que, como podemos ver, la suma de las velocidades en la expresión para $\Delta K$ es lo que contribuye a un mayor cambio en la energía cinética. Como el trabajo realizado es igual al cambio de energía cinética, debe ser que el cohete hace más trabajo cuando partimos a una velocidad mayor.
La segunda forma de ver esto, que podría argumentar que es la misma que la primera, es mirar la definición de trabajo $$W=\int\vec F \cdot \mathrm d\vec x$$
O en una dimensión con una fuerza constante $$W=F\,\Delta x$$
Ahora, suponiendo de nuevo una aceleración constante, sabemos que $$\Delta x = \frac 12 a t^2 + v_\text{init}t$$
Para que el trabajo realizado sea $$W=F\left(\frac 12 a t^2 + v_\text{init}t\right)$$
Una vez más, vemos que la velocidad inicial determina el trabajo. Una explicación cualitativa de esto es que cuando la velocidad es mayor, entonces el objeto cubre más distancia en la misma cantidad de tiempo. Por lo tanto, si observamos el tiempo en que se aplica la fuerza, cuanto más rápido se mueve, mayor es la distancia que se aplica. Por lo tanto, obtenemos más trabajo si el objeto se mueve inicialmente más rápido.
El supuesto problema detrás de todo esto es que parece que estamos obteniendo más energía al aplicar la misma fuerza durante el mismo tiempo. Pero si se trabaja en ello, se descubre que no es un problema en absoluto. Esto es incluso cierto para los objetos que caen cerca de la superficie de la Tierra. Aunque la fuerza sea constante, la gravedad hace cada vez más trabajo sobre el objeto mientras cae. O, en otras palabras, la tasa de conversión de energía potencial en energía cinética aumenta a medida que el objeto cae.
En ambos casos (estacionario y volando rápido), el cambio en la energía cinética total del sistema cohete+propulsor es el mismo, igual a la energía química liberada durante una combustión de un segundo. Si el cohete estuviera parado, el propulsor pasa de estar en reposo a moverse hacia atrás, aumentando su energía cinética. Si el cohete volaba (muy) rápido, el propulsor pasa de avanzar rápido (con el cohete) a avanzar más lento (arrastrándose), disminuyendo su energía cinética. Esto es suficiente para entender cualitativamente por qué la energía cinética del cohete aumenta más en el segundo caso.
Los dos casos están relacionados por una transformación galileana (elección de un marco de referencia de movimiento uniforme). La coherencia está garantizada por el hecho de que, para cualquier sistema aislado (como el cohete+propulsor), el cambiar en la energía cinética total entre un tiempo y otro es invariante galileana (la misma en cualquier marco de referencia con movimiento uniforme).
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