¿Qué significa la continuidad *en general*?

Question

Estoy buscando desde : http://en.wikipedia.org/wiki/Lipschitz_continuity

Continuamente diferenciable $\subseteq$ Lipschitz continuo $\subseteq$ -Hölder continuo $\subseteq$ uniformemente continua $\subseteq$ continua.

Lo que busco es una definición precisa de la misma. Intuitivamente, es como si tuviera un lápiz con punta y cualquier curva que pueda dibujar sin levantar el lápiz del papel es continua. PERO, lo que pregunto es cómo se reduce realmente a la $|f(x +\epsilon) - f(x)| < \delta $ . Obviamente esto $\epsilon,\delta$ La definición implica continuidad, pero ¿también implica lo contrario?

¿Existe alguna otra definición genérica y precisa de continuidad? ¿Es la $\epsilon,\delta$ ¿la definición es la única que tenemos? ¿Es esa definición lo suficientemente genérica?

Answer 1

Su definición es errónea. La definición precisa de continuidad para las funciones reales es:

Para un conjunto $A\subseteq \mathbb R$ y un punto $x_0\in A$ la función $f:A \to \mathbb R$ es continua en $x_0$ si para cada $\epsilon > 0$ existe un $\delta > 0$ tal que para todos los valores de $x\in A$ para lo cual $|x-x_0|$ es menor que $\delta$ la cantidad $|f(x)-f(x_0)|$ es menor que $\epsilon$ . Escrito en lenguaje formal, esto significa: $$ \forall \epsilon>0\exists\delta>0\forall x:|x-x_0|<\delta\implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon $$

Una extensión de esta definición es: si una función es continua en cada punto de $A$ entonces es continua en $A$ . En lenguaje formal, pues, $f$ es continua si

$$ \forall x_0\in A\forall \epsilon>0\exists\delta>0\forall x:|x-x_0|<\delta\implies |f(x)-f(x_0)|<\epsilon $$

Ahora, usted dice "este $\epsilon, \delta$ La definición implica continuidad", lo que no es realmente cierto. Esta definición es la definición ¡de la continuidad!

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Hay más definiciones de continuidad. Por un lado, es sencillo demostrar que $f:A\to\mathbb R$ es continua si y sólo si, para toda secuencia convergente $(a_n)$ en $A$ la igualdad $$f\left(\lim_{n\to\infty}a_n\right)=\lim_{n\to\infty}f(a_n)$$

Como esta propiedad es equivalente a la continuidad, es una definición alternativa de funciones continuas.

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De forma más general, el concepto de funciones continuas puede extenderse a todos los espacios topológicos. Allí, una función es continua si para todo conjunto abierto $U$ la preimagen de $U$ también está abierto, es decir $f:X\to Y$ es continua si $$\forall U\subseteq Y: U\text{ open in }Y\implies f^{-1}(U)\text{ open in }X$$

Answer 2

El definición topológica de continuidad es lo que la mayoría consideraría la forma más general de continuidad. Implica la $\varepsilon$ - $\delta$ versión de la continuidad en el ejemplo concreto de un espacio métrico . En un espacio topológico, los conjuntos abiertos dan alguna noción de "cercanía" y la definición topológica de continuidad dice intuitivamente que "los puntos cercanos son enviados a puntos cercanos".

En el caso concreto de las funciones de valor real, decimos que una función f es continua en un punto $x_0 \in \mathbb{R}$ si para cada $\varepsilon > 0$ existe un $\delta >0$ tal que

$$ |x_0 - x | < \delta \implies |f(x) - f(x_0)| < \varepsilon. $$

Observe que $ |x_0 - x | < \delta$ es lo mismo que decir $x_0 - \delta < x < x_0 + \delta$ . Así que $f$ siendo continua en $x_0$ significa que si queremos que la salida de nuestra función $f(x)$ en algún momento $x$ para estar cerca de la salida $f(x_0)$ en $x_0$ (en el sentido de que queremos $|f(x) - f(x_0)|<\varepsilon$ ) entonces podemos encontrar valores de $x$ cerca de $x_0$ ( es decir $|x_0 - x | < \delta$ ) que garantiza $|f(x) - f(x_0)|<\varepsilon.$

Para decir $f$ es continua en $\mathbb{R}$ significa que $f$ es continua en cada punto de $\mathbb{R}$ . Intuitivamente de nuevo "los puntos cercanos se envían a los puntos cercanos".

Answer 3

Ya hay algunas buenas respuestas, pero me gustaría destacar algún otro aspecto. Dices que la continuidad se puede describir intuitivamente por

Tengo un lápiz con punta y cualquier curva que pueda dibujar sin levantar el lápiz del papel es continua.

Tu intuición no es errónea, pero no es lo suficientemente buena (de hecho estás diciendo que si la gráfica de una función está conectada por un camino, entonces esa función es continua, ver esta pregunta ). Se pierde el punto principal de la continuidad (asumiendo $\mathbb{R}^n$ espacio), que es

$$\text{if the input changes a little, the output cannot change too much.} \tag{$ \N - Traje de espadachín $}$$

Hay un gran problema con la afirmación anterior, es decir, ¿qué significan "poco" y "demasiado"? Si fijáramos alguna relación entre estos cambios en un punto $x_0$ ¿Qué pasa con otros lugares? Los diferentes conceptos de continuidad reflejan diferentes puntos de vista sobre el asunto, y la norma $\varepsilon$ - $\delta$ La definición es sólo una de ellas.

Otra forma de decir $(\spadesuit)$ sería un gran cambio en la producción implica un gran cambio en la entrada o para hacerlo más preciso un cambio mayor que $\varepsilon$ en la producción implica un cambio en la entrada mayor que $\delta$ . Transponiendo la implicación, un cambio limitado por $\delta$ en la entrada implica un cambio limitado por $\epsilon$ en la salida. ¿Te resulta familiar?

Por la relación $\varepsilon$ y $\delta$ de diferentes maneras podemos obtener diferentes versiones de la continuidad. Si $f$ es continua en $\mathbb{R}$ significa que, en cada punto hay algunos relación entre el cambio de entrada y el cambio de salida (límites de cambio de entrada y límites de cambio de salida) y el caso más básico es que (para cada punto) para cada $\varepsilon$ hay algunos $\delta$ .

Para dar más ejemplos, si eso $\varepsilon$ - $\delta$ es la misma en todos los puntos, obtenemos continuidad uniforme . Si lo reforzamos más, por ejemplo, si ese $\varepsilon$ - $\delta$ es lineal, obtenemos Continuidad Lipschitz (o continuidad α-Hölder si la relación es como la función $x \mapsto x^\alpha$ ). Por otro lado, continuamente diferenciable son estas funciones, que cambian de manera que somos capaces de decir, de forma coherente, cuál es ese cambio (nótese que $x\mapsto x^2$ en $\mathbb{R}$ continuamente diferenciable, pero no uniformemente continua o Lipschitz).

Por último, si se sale de $\mathbb{R}^n$ en espacios más complejos, hay todavía diferentes nociones y definiciones de continuidad (la que más me gusta es vía redes puede encontrar más información al respecto aquí ), pero ese no es el tema de este post.

Espero que eso ayude $\ddot\smile$

Answer 4

El $\epsilon$ - $\delta$ La definición de continuidad se limita a los espacios métricos, donde tenemos alguna noción de distancia (el equivalente al valor absoluto de una diferencia en $\mathbb R$ ). Una definición más general de continuidad que es para un espacio topológico general es ésta:

Una función $f: X \to Y$ entre espacios topológicos se dice que es continuo si para todos los conjuntos abiertos $U \subseteq Y$ la preimagen $f^{-1}(U)$ es un subconjunto abierto de $X$ .

Hay otras caracterizaciones de la continuidad que son equivalentes a ésta. Cuando $X$ y $Y$ son espacios métricos, el $\epsilon$ - $\delta$ es equivalente a esta definición.

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"Obviamente esto $\epsilon$ , $\delta$ definición implica continuidad, pero ¿también lo contrario?"

Esto depende de cuál sea su definición de continuidad. Recuerde que una definición es una declaración "si" y "sólo" si, sólo suprimimos la parte "sólo" si. Así que si el $\epsilon$ - $\delta$ condición es como defines la continuidad, entonces por supuesto que la continuidad implica la condición, pero sé consciente de dónde se puede aplicar tu definición. Por eso es útil la caracterización de la continuidad en conjuntos abiertos: porque está definida para cualquier espacio en el que nos importe la continuidad y es equivalente a la $\epsilon$ - $\delta$ caracterización en aquellos espacios en los que se pueden aplicar ambos.