Encuentra la fórmula recursiva para $a_{n}={b^n}$ para $n>2$

Question

¿Cómo puedo solucionarlo? y puede alguien ayudarme a encontrar la fórmula recursiva para $a_{n}=3n^3$ para $n\geq 0$ .

Answer 1

Tenemos $a_{n+1}=3(n+1)^3=3(n^3+3n^2+3n+1)=a_n+9n^2+9n+3$ . Y $a_0=0$ .

Answer 2

Mi sugerencia sería tratar de considerar $a_n=3((n-1)+1)^3$ y ver lo que puedes sacar de ello.

Answer 3

Set $b_n=a_{n+1}-a_n=3(n+1)^3-3n^3=9n^2+9n+3$

Set $c_n=b_{n+1}-b_n=9(n+1)^2+9(n+1)+3-(9n^2+9n+3)=18n+18$

Así que $c_{n+1}=c_n+18$ y $c_0=18$

Entonces $b_{n+2}-b_{n+1}=b_{n+1}-b_n+18$

entonces $a_{n+3}-a_{n+2}-(a_{n+2}-a_{n+1})=a_{n+2}-a_{n+1}-(a_{n+1}-a_n)+18$

Así que $a_{n+3}=3a_{n+2}-3a_{n+1}+a_n+18$ con $a_0=0, a_1=3, a_2=24$