Interesante y divertido problema de valores propios para una matriz $B \in M_{n}(\mathbb{Q})$

Question

He estado pensando en la forma de abordar este problema de álgebra lineal en particular relacionado con los valores propios de un viejo prelim de álgebra. El problema es que supongamos que nos dan una matriz $B \in M_{n}(\mathbb{Q})$ tal que $B^5 =I$ es decir, el $n \times n$ matriz de identidad, y ningún valor propio de $B$ es igual a $1$ . Tenemos que demostrar que $n$ es divisible por $4$ .

Mi intento: Entiendo que $B^5 =I \implies B^5 -I=0$ (la matriz cero). Ahora, por definición, los valores propios de una matriz $B$ son las raíces del polinomio característico $c_B(x)$ de $B$ y también sabemos que $c_B(x)$ aniquila la matriz $B$ es decir $c_B(B)=0$ . Ahora, en este problema, la condición clave es que $1$ no puede ser un valor propio de $B$ Entonces, ¿significa esto, a través de la factorización $$x^5 -1= (x-1)(x^4 +x^3 +x^2 +x+1)$$ en $\mathbb{Q}$ que $x^4 + x^3 + x^2 +x+1$ divide $c_B(x)$ que tiene el grado $n$ ? ¿Es esto suficiente para decir que $n$ es divisible por $4$ ¿o hay otras cosas necesarias que hay que considerar cuidadosamente antes de llegar a esa conclusión?

Answer 1

Todos los valores propios de $B$ son quintas raíces (complejas) de la unidad, y como $1$ se excluye deben ser $\omega,\omega^{-1},\omega^2,\omega^{-2}$ , donde $$\omega=e^{2\pi i/5}\ .$$ El polinomio característico de $B$ tiene la forma $$(z-\omega)^a(z-\omega^{-1})^b(z-\omega^2)^c(z-\omega^{-2})^d\ ,$$ donde $a,b,c,d$ son enteros no negativos y $a+b+c+d=n$ . Sin embargo, este polinomio debe tener coeficientes racionales, lo que obliga a $a=b=c=d$ Así que $n=4a$ es un múltiplo de $4$ .

Answer 2

Desde $B^5 = I$ el polinomio mínimo de $B$ sobre los racionales divide $x^5 - 1$ . Ahora $x^5 - 1 = (x - 1)(x^4 + x^3 + x^2 + x + 1)$ , donde $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ es irreducible (es la quinta polinomio ciclotómico ), y como $1$ no es un valor propio, el polinomio mínimo sólo puede ser $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ . Todos los factores irreducibles del polinomio característico dividen al polinomio mínimo, por lo que el polinomio característico es una potencia de $x^4 + x^3 + x^2 + x + 1$ y esto implica que $n$ es un múltiplo de $4$ .