¿Existe una zona cerrada no orientable $2$ -manifold incrustado en $\mathbb{R}^4$ tal que su complemento está desconectado con $2$ ¿Componentes?

Question

Así que para dar un poco de contexto, en mi clase de física nos presentaron la ley de Gauss que establece que para una superficie orientable cerrada en $\mathbb{R}^3$ el flujo total que lo atraviesa está relacionado con la carga eléctrica encerrada en él, mediante la fórmula $$\epsilon_0 \Phi = q_{enc},$$ donde $\epsilon_0$ es la constante de permitividad del espacio.

Así que, naturalmente, me he dado cuenta de que la cláusula de orientabilidad nos da acceso a nociones como interior y exterior de la superficie. Pero empecé a preguntarme si esas nociones también tienen sentido para las superficies no orientables incrustadas en espacios de mayor dimensión.

Así que me gustaría saber si ( Q1 ), existe una zona cerrada no orientable $2$ -manifiesto incrustado en $\mathbb{R}^4$ tal que su complemento está desconectado con $2$ componentes, uno acotado y el otro, no acotado.

Como sospecho que una mayor codimensión podría arruinar por completo esta noción, ( Q2 ) qué ocurre si eliminamos el requisito de no orientabilidad en ( Q1 )?

Answer 1

Un suave $2$ -superficie dimensional no puede separar $\mathbb{R}^4$ en dos componentes. Más concretamente, se puede aplicar el siguiente resultado:

Si $M\subset N$ es un submanifold incrustado con $\operatorname{codim}M\ge 2$ y $N$ está conectado, entonces $N\setminus M$ también está conectado.

Este resultado puede demostrarse utilizando transversalidad . Esencialmente, dada cualquier trayectoria suave $\gamma:[0,1]\to N$ entre puntos $a,b\in N\setminus M$ , siempre podemos deformar $\gamma$ muy ligeramente para evitar cualquier intersección con $M$ . Esto significa que cualquier punto conectado por un camino en $N$ también están conectadas por un camino en $N\setminus M$ .