Demostración de homeomorfismos entre espacios topológicos sin encontrar funciones explícitas

Question

Estoy empezando a estudiar Topología General, y hasta ahora he resuelto ejercicios que implican probar homeomorfismos entre espacios (como S¹ y un cuadrado) definiendo una función biyectiva $f: X \rightarrow Y$ entre los espacios y verificar que todos los conjuntos abiertos de $Y$ son la imagen de un conjunto abierto de $X$ o que ambos $f$ y $f^{-1}$ son continuos.

Sin embargo, me parece que a veces definir una función explícita que mapee un espacio a otro puede ser demasiado laborioso o, de hecho, innecesario. Creo que seguramente hay mejores formas de demostrar tales cosas utilizando sólo otros hechos conocidos sobre la estructura de los espacios. (Por ejemplo, demostrando que el intervalo abierto $(0,1)$ es homeomorfo a $S¹ - \{(0,1)\}$ (el círculo unitario con la eliminación de un punto) intuitivamente no parece requerir una función explícita. Quizás el hecho de que ambos tengan dos "extremos", como cualquier intervalo abierto en la recta real debería ser suficiente).

Lo que busco son herramientas o algunos conceptos que me ayuden a demostrar este tipo de cosas, y quizás la existencia de funciones biyectivas entre conjuntos en general, no sólo en problemas de Espacios Topológicos.

Gracias de antemano.

Answer 1

Para "la existencia de funciones biyectivas entre conjuntos en general" (es decir, olvidándose de la estructura topológica) hay teoremas como el teorema de Schroeder-Bernstein que pueden facilitar la vida.

Para demostrar que dos espacios topológicos son homeomorfos, generalmente hay que exhibir el homeomorfismo. Afortunadamente, a menudo se puede utilizar el pensamiento geométrico, así como la composición con homeomorfismos que se han "preparado antes" (como se dice en los programas de cocina) para ayudar a ello: por ejemplo, en tu ejemplo, la versión unidimensional del proyección estereográfica le da un homeomorfismo de $S^1 \setminus \{(0, 1\}$ con $\Bbb{R}$ . A continuación, puede componer esto con su homeomorfismo favorito de $\Bbb{R}$ con el intervalo abierto $(0, 1)$ (por ejemplo, basado en el $\mathrm{arctan}$ ) para obtener un homeomorfismo de $S^1 \setminus \{(0, 1\}$ con $(0, 1)$ .

Un resultado útil que puede ahorrar algo de trabajo es que si $X$ es compacto y $Y$ es Hausdorff y $f: X \to Y$ es continua y biyectiva, entonces $f$ es un homeomorfismo. (Como los subconjuntos cerrados de conjuntos compactos son compactos, las funciones continuas mapean conjuntos compactos a conjuntos compactos y los subconjuntos compactos de los espacios de Hausdorff son cerrados).

Answer 2

Hay varios espacios $X$ que son tan agradables que existe una caracterización de los mismos: una lista finita de propiedades tal que cualquier espacio $Y$ que satisface estas propiedades es homeomorfo a $X$ . Bastantes de estos teoremas se demostraron para espacios clásicos en los inicios del campo de la topología, pero no muchos después. Parece que la mayoría de estos espacios son muy grandes (de dimensión infinita) o de dimensión cero (por tanto, muy desconectados). En la demostración de tales teoremas hay una construcción de un homeomorfismo (a menudo por un proceso de limitación, o recursión), pero no da fórmulas explícitas en muchos casos.

Algunos ejemplos clásicos:

• Cualquier espacio métrico contable sin puntos aislados es homeomorfo a $\Bbb Q$ en la topología estándar (debido a Sierpiński), se puede encontrar una prueba aquí .

• Cualquier espacio compacto metrisable totalmente desconectado sin puntos aislados es homeomorfo a $C$ (el tercer conjunto medio de Cantor, o $\{0,1\}^{\Bbb N}$ si se prefiere).

• Cualquier espacio métrico conectado, localmente conectado, separable, tal que cada punto es un punto de corte fuerte (al quitarlo deja exactamente dos componentes) es homeomorfo a $\Bbb R$ . (ver aquí para obtener referencias y algo más de información).

• Todo espacio topológico lineal separable, completamente metrizable y localmente convexo es homeomorfo a $\Bbb R^{\Bbb N}$ (así que esto incluye $\ell_2$ , $C[0,1]$ muchos espacios estándar en el análisis). Debido a Anderson, y muchos otros.

Existen otros, pero son más técnicos todavía. Pero también hay muchas abiertas.

En cuanto a la cuestión del círculo y $(0,1)$ : $\Bbb S^1$ se caracteriza por ser el único espacio métrico compacto y conexo en el que dos puntos cualesquiera se desconectan. Véase estas notas para una prueba. Por lo tanto, la eliminación de un punto de $\Bbb S^1$ todavía lo deja separable, conectado, localmente conectado y cada punto del resto es un punto de corte fuerte. Así que es homeomorfo a $\Bbb R$ o $(0,1)$ que son iguales topológicamente. Pero este uso de los teoremas es exagerado, ya que basta con un simple mapa de proyección para demostrarlo. También se podría hacer utilizando una transformada de Moebius en el plano complejo. Así que ahí es fácil de ver directamente. Estos teoremas de caracterización son útiles sobre todo en el contexto de otras pruebas.