convergencia de una serie que implica $\cosh$

Question

Tengo una pregunta sobre las series infinitas. ¿Es cierto que \begin{equation} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \cosh{\left(\frac{1}{3}\gamma^3x_i\right)}\underset{n\to\infty}\longrightarrow 1 \end{equation} si y sólo si \begin{equation}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \vert x_i\vert \underset{n\to\infty}\longrightarrow 0,\end{equation} donde $\gamma >0$ es una constante, y $\sup_i \vert x_i \vert < \infty$ .

¿Alguna idea (una prueba?)?? Cualquier ayuda o sugerencia es muy apreciada.

Muchas gracias.

Answer 1

Dejemos que $\alpha = \gamma^3/3$ . La siguiente desigualdad es válida para la función convexa $x \mapsto \cosh(\alpha x)$ :

$$ \sum_{k=1}^n \frac{\cosh(\alpha x_k)}{n} = \sum_{k=1}^n \frac{\cosh(\alpha |x_k|)}{n}\geq \cosh \left(\alpha \sum_{k=1}^n \frac{|x_k|}{n}\right) \geq 1. $$

(La media de algunos valores de la función es al menos el valor de la función de la media). Si el primer término converge a $1$ entonces también lo hace el último $\cosh$ término. Esto demuestra que $$\sum_{k=1}^n \frac{|x_k|}{n}$$ converge a $0$ . Si $|x| \leq N$ entonces $$\cosh(\alpha x) \leq 1 + |x| \frac{\cosh(\alpha N) - 1}{N}.$$ La implicación inversa se desprende directamente de esta desigualdad ya que $|x_k| \leq N$ para algún límite $N$ y todos los índices $k$ .