Por qué $PGL(2, 9)$ no es isomorfo a $S_6$ ?

Question

¿Cómo puedo demostrar que $PGL(2,9)$ no es isomorfo a $S_6$ ?

Mi idea principal es comparar el tamaño de las clases de conjugación de dos elementos bien elegidos en estos grupos. ¿Existe otro enfoque más sencillo?

Answer 1

Dejemos que $\alpha$ sea un generador del grupo $\mathbb F^*_9$ . Ahora bien, si consideramos la matriz $A=\hbox{diag}(1, \alpha)$ en $PGL(2,9)$ tenemos $\hbox{ord}(A)=8$ ya que $\hbox{ord}(\alpha)=8$ . Pero no hay ningún elemento de orden $8$ en el grupo simétrico $S_6$ . Así que estos dos grupos no pueden ser isomorfos.