Ecuación funcional $f(x + y) = f(x)^m + f(y)^{m + 1}$

Question

Dejemos que $m \in \mathbb{N}$ .

Cómo puedo encontrar todas las funciones $f$ tal que $f(x + y) = f(x)^m + f(y)^{m + 1} \forall x,y \in R$ ?

Gracias de antemano.

Answer 1

$$f^{m+1}(x)+f^m(y)=f(x+y)=f^{m}(x)+f^{m+1}(y).$$

Así que necesitarías $f^{m+1}(x)-f^{m}(x)=f^{m+1}(y)-f^{m}(y)$ para todos $x,y$ lo que significa que necesita $f^{m+1}(x)-f^{m}(x)=c$ para alguna constante $c$ . Esto significa que $f(x)$ sólo puede tomar una de como máximo $m+1$ valores.

Si tiene que ser continua, entonces tiene que ser constante. Si es constante, debe ser una solución de $c=c^{m+1}+c^{m}$ Así que $c=0$ o una raíz de $c^{m}+c^{m-1}-1$ .

Parece probable que podamos demostrar que es constante sin que la continuidad sea una condición. Necesito pensar un poco más para averiguarlo.

Para no ser constante, se necesitaría un $c$ para que haya un subconjunto $S$ de las raíces de $z^{m+1}+z^{m}-c$ con más de un elemento tal que si $u,v\in S$ entonces $u^m+v^{m+1}=u^m-v^{m}+c\in S$ . Pero también, $v^{m}-u^{m}+c\in S$ . Así que hay una extraña simetría en torno a $c$ que se está llevando a cabo con algunas de estas raíces.