Escoger múltiplos de 4

Question

Recientemente me llegó y trató de resolver el siguiente problema: Si usted es escoger al azar los números enteros en el rango de $[1,30]$ fuera de un sombrero sin sustitución, en promedio, ¿cuántos números enteros se tiene que escoger hasta que hayas recogido todos los múltiplos de $4$?

Hay $7$ múltiplos de $4$ que puede ser elegido. Sé que el valor esperado de las picas hasta que toma un múltiplo de 4 es el valor más pequeño de $n$ tal que $1-\displaystyle\prod_{i=0}^{n-1}\dfrac{23-i}{30-i}>0.5$,$3$. Sin embargo, no sé cómo averiguar la cantidad de picks son necesarios hasta que todos los múltiplos de $4$ han sido elegidos. Puedo por favor tener algún tipo de ayuda?

Answer 1

Otro enfoque sería pensar en una permutación de $\{1, 2, ..., 30\}$. Podemos pensar en los múltiplos del siete $4$ como separar pistas (algunas posiblemente vacía) de $23$ nonmultiples $4$. Puesto que hay separadores de siete, hay $8$ corre, con el promedio de longitud siendo $\frac{23}{8}$. Así, el número promedio de nonmultiples $4$ después del última (séptimo) múltiplo de $4$ es $\frac{23}{8}=2.875$. Por lo tanto la posición media de los últimos múltiples de $4$ es posición $30-2.875=27.125$.

Answer 2

Para empezar, usted correctamente, tenga en cuenta que hay siete múltiplos de cuatro para ser elegido.

Permite elegir un conveniente espacio muestral para trabajar con. En este caso, me parece conveniente dejar que el espacio muestral ser todas las permutaciones de $[30]$. Sabemos que el samplespace tamaño es $30!$. Esto se hace porque podíamos escoger, simplemente, coger más números de el sombrero hasta que el sombrero está vacía y las probabilidades de éxito en $k$ rondas seguirá siendo el mismo. Además, cada resultado en el espacio muestral tiene la misma probabilidad de ocurrir.

Que nos permiten contar cuántas permutaciones satisfacer las siguientes propiedades para cada valor de $k$:

• El $k^{th}$ número es un múltiplo de cuatro
• Los seis restantes múltiplos de cuatro aparecen antes de la $k^{th}$ número

Para ello,

• Elegir los espacios ocupados por los múltiplos de $4$: $\binom{k-1}{6}$ opciones.
• Elegir el orden en el cual los múltiplos de cuatro aparecen: $7!$ opciones
• Elegir el orden en el que el resto de los números que aparecen: $23!$ opciones

Dejando $X=\text{number of rounds until all multiples of four are drawn}$,$Pr(X=k)=\dfrac{\binom{k-1}{6}7!23!}{30!}$. Tenga en cuenta que esta fórmula tiene sentido, incluso en la situación en la que $k<7$ ya que es imposible tener dibujado todos los múltiplos de cuatro en el que el tiempo y la fórmula se obtiene la probabilidad de ocurrencia igual a cero.

Ahora, podemos aplicar la definición de Valor Esperado.

$\mathbb{E}[X] = \sum\limits_{k\in \Delta} kPr(X=k)$

que en este caso se obtiene

$$\mathbb{E}[X]=\sum\limits_{k=7}^{30} \dfrac{k\binom{k-1}{6}7!23!}{30!}=27.125$$

wolfram cálculo

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A través de métodos similares, también se podría calcular el tiempo estimado antes de la primera aparición de un múltiplo de cuatro a $3.875$ @lulu comentario anterior.

Que respuesta da el mismo resultado como el nuestro, por encima del reconocimiento de que a través de la interpretación de este como la selección de las apariciones de números en nuestro permutación en orden inverso y un adecuado desplazamiento de los índices, que la primera aparición de un múltiplo de cuatro, se $3.875$ desde el final corresponde exactamente con la última aparición de $27.125$ desde el inicio.

Answer 3

La probabilidad de obtener los múltiplos de $4$ precisamente el sorteo $k$ es \frac{\binom{k-1}{6}}{\binom{30}{7 $$}} $$ por lo tanto, sería el número esperado de proyectos $$\begin{align} \frac1{\binom{30}{7}}\sum_{k=7}^{30}k\binom{k-1}{6} &=\frac7{\binom{30}{7}}\sum_{k=7}^{30}\binom{k}{7}\\ &=\frac7{\binom{30}{7}}\binom{31}{8}\\ &=\frac{217}{8}\\[9pt] &=27.125 \end {Alinee el} $$

Answer 4

Color de la $23$ números no divisibles por $4$ azul, y llamarlos $b_1$$b_{23}$. Color de la $7$ múltiplos de $4$ rojo. Para$i=1$$23$, vamos indicador de la variable aleatoria $X_i$ ser definido por $X_i=1$ si hay un número rojo que es más tarde de lo $b_i$, y por $X_i=0$ lo contrario.

A continuación, el número total $W$ de los ensayos hasta conseguir todos los números rojos se da por $W=7+\sum_1^{23}X_i$.

Por la linealidad de la espera, $$E(W)=7+\sum_1^{23}E(X_i).$$

La probabilidad de que $X_i=1$$\frac{7}{8}$, para el azul entero $b_i$ es igualmente probable que sea la primera, segunda, y así sucesivamente hasta el octavo lugar entre los $8$ números de que consta de los números rojos y $b_i$. De ello se sigue que $$E(W)=7+23\cdot\frac{7}{8}.$$ Esto se simplifica a $\frac{217}{8}$.

Nota: El indicador de la variable aleatoria técnica evita encontrar la distribución de $W$. Que la distribución es en este caso, no es difícil de encontrar, pero la técnica puede ser útil cuando la distribución es menos accesible.