¿Por qué podemos decir $0\leq\sin^2(x)\leq 1$ ?

Question

A menudo veo que los instructores escriben:

$0\leq\sin^2(x)\leq 1$

¿Por qué es esto válido? ¿No se supone que es entre $1$ y $-1$ ?

Answer 1

Porque $\sin^2(x) \ge 0$ , $\cos^2(x) \ge 0$ , y $\sin^2(x)+\cos^2(x) = 1 $ .

Answer 2

Editar: La pregunta original era por qué $0 < \sin^2(x) < 1$ para $x \not= 0$ pero ahora se ha cambiado por otra cosa.

La nota de la pregunta no es correcta: si $x = \pi/2$ entonces $\sin^2 x = 1$ y si $x = \pi$ entonces $\sin^2 x = 0$ Así que $0 < \sin^2 x < 1$ no se cumple en esos casos.

Lo que sí es cierto, a través de, es que $0 \leq \sin^2 x \leq 1$ para todos $x$ (incluyendo $x = 0$ ): como el cuadrado de cualquier número real es no negativo, se tiene $0 \leq \sin^2 x$ . Por otro lado, si un número real $y$ satisface $0 \leq y \leq 1$ entonces $y^2 \leq 1$ (ya que, por ejemplo, $y \mapsto y^2$ está aumentando en $[0, \infty)$ y $0^2 = 0$ , $1^2 = 1$ ). Recordando que $\sin x \leq 1$ para todos $x$ esto implica que también $\sin^2 x \leq 1$ para todos $x$ .

Answer 3

Si se trazan las a gráficas sería más fácil que se vieran los límites.

Answer 4

$x \in \mathbb R$ entonces $x^2 \ge 0$ .

Si $|x| \le 1$ entonces $x^2 = |x|^2 = |x||x| \le |x|*1 = |x| \le 1$ .

Así que como $-1 \le \sin x \le 1$ se deduce que $(\sin x)^2 \le 1$ . Y como $(\sin x)^2 \ge 0$ , $0 \le \sin^2 x \le 1$ .