Demuestra que al menos dos puntos de un rectángulo están dentro de $\sqrt{5}$ entre sí

Question

He visto problemas relacionados con el cuadrado unitario y los triángulos unitarios, en los que se pregunta si hay $5$ puntos, al menos dos están dentro de $\frac{\sqrt{2}}{2}$ y $\frac{1}{2}$ respectivamente.

Pero cuando las formas no son del mismo lado, me confundo. Tengo un $3\times 4$ rectángulo y tengo seis puntos. Debería haber al menos $2$ puntos dentro de $\sqrt{5}$ entre sí. Supongo que primero hay que dividir el rectángulo en 5 partes iguales y hacer que los puntos sean al menos $\sqrt{5}$ de otro y demostrarlo utilizando el principio de la colombofilia. Pero no sé cómo dividir el $3\times 4$ rectángulo en $5$ piezas, así que ahí es donde estoy atascado.

Answer 1

CONSEJO: No es necesario que las partes sean iguales. Tampoco es necesario que sean disjuntas, siempre que cuando dos puntos estén en la misma parte cumplan la restricción (aunque si las partes se solapan puedes asignar el solapamiento entre las partes para hacerlas disjuntas si es necesario).

¿Dónde colocarías los cinco puntos para que estén lo más dispersos posible dentro del rectángulo? Un punto de partida es crear regiones alrededor de esos puntos (teniendo en cuenta que la mejor disposición para seis puntos puede ser diferente, por lo que hay que controlar el diámetro de cada pieza).

Answer 2

Construye el rectángulo y divídelo en $12$ Ahora denote la intersección inferior de la derecha como $A_1$ y el siguiente como $A_2$ y así sucesivamente. Denotemos la intersección justo por encima de $A_1$ como $B_1$ y así sucesivamente. Ahora para las cinco regiones a las que aplicaremos PHP serán- 1. $A_1B_1C_2B_3A_3$ , 2. $A_3B_3C_4B_5A_5$ , 3. $B_5C_4D_4D_5$ , 4. $D_4C_4B_3C_2D_2$ y 5. $C_2D_2D_1B_2$ .