¿Cómo solucionarlo?

Question

O, más generalmente, $$\Gamma (x+1)=\int_0^{\infty}t^{x}e^{-t}dt=p^x$$ with $p # \in \mathbb{Z}^+$ and $x \in \mathbb{C}$.

Tal vez empezar con $\large p^x=p^x \lim_{n \rightarrow \infty}[e^{-0}-e^{-n}]=\int_0^{\infty}p^xe^{-t}dt$.

Entonces

$$\int_0^{\infty}(t^{x}-p^x)e^{-t}dt=0$$

que no sé cómo resolver. Huele a integración por las piezas, pero no puedo ver nada factible dado que $x$ no es una constante.

Answer 1

Aquí está un diagrama de las raíces complejas de la ecuación $\Gamma(z+1) = 5^z$ cerca del origen.

Numéricamente parece que las otras raíces son los continuando a lo largo de los tres "rayos" de raíces en la foto: el rayo a lo largo del eje verdadero negativo (aquí las raíces están cerca de enteros) y los dos brazos simétricos que se parecen tienden a $\pi/3$ y $-\pi/3$ radianes.