¿Cuáles son las unidades de los enteros cíclotomicos?

Question

Esta pregunta me hizo darme cuenta de que tenía un concepto erróneo acerca de los enteros ciclotómicos: Pensaba que las unidades eran exactamente las raíces de la unidad. Hay solo un número finito de unidades pero infinitos enteros, por lo que la pregunta es imposible de resolver a menos que haya más unidades. ¿Entonces cuáles son las unidades de los enteros ciclotómicos?

Answer 1

No creo que haya una manera directa de describir todas las unidades. Si $\zeta$ es una raíz de la unidad en el campo, entonces $\frac{\zeta^k-1}{\zeta-1}$ es una unidad siempre que $k$ sea primo relativo al orden de $\zeta$, y por lo tanto los productos de tales elementos también son unidades. Esto ya te da infinitas unidades, y aunque no cubren necesariamente todas las unidades, se acercan (este es un subgrupo de índice finito del grupo de unidades).

Busca el Lema de Kummer, por ejemplo aquí, y "Unidad ciclotómica".

Answer 2

Tal vez esta "respuesta" te ayude a aclarar los conceptos.

1: Por definición, las unidades en un campo numérico dado $K$ son los enteros de "norma uno". Es decir,

$O_K^*$\={$ u\in O_K|\ |N_{K|\mathbb{Q}}(u)|=1 $}.

2: Para la estructura del grupo de unidades, se tiene el famoso teorema de las unidades de Dirichlet.

3: Sin embargo, incluso en el caso de los campos cíclotomicos, no existe una fórmula explícita para producir todo el grupo de unidades. Pero podemos describir su subgrupo: "unidades cíclotomicas"

Answer 3

Tomamos la $ p^{\text{th}} $ anillo ciclotómico de enteros $ \mathbb{Z}[\zeta] $ , $ p $ un primo impar, una raíz primitiva $ \gamma\pmod{p} $ y el homomorfismo $ \sigma\zeta=\zeta^\gamma $ . Kummer tomó las unidades

$$\tag{1} \varepsilon_{j}=\dfrac{\sigma^j\zeta-\sigma^{j}\zeta^{-1}}{\sigma^{j-1}\zeta-\sigma^{j-1}\zeta^{-1}}=\sigma^{j-1}\left(\dfrac{\sigma\zeta-\sigma\zeta^{-1}}{\zeta-\zeta^{-1}}\right),\quad 1\le j\le\mu-1, $$

con $ \mu=(p-1)/2 $ . Estas son unidades reales y Kummer también demostró que cada puede expresarse como una unidad real por una raíz de la unidad $ (-\zeta)^n $ . Denotamos el sistema fundamental de unidades con $ \hat\varepsilon_j $ , $ 1\le j\le\mu-1 $ . Una unidad del sistema fundamental de unidades también puede expresarse como una unidad real por una raíz de la unidad. Elegimos unidades reales $ \hat\varepsilon_j $ para el sistema fundamental de unidades.

Supongamos que el módulo cociente multiplicativo

$$ [\hat\varepsilon_1,\dots,\hat\varepsilon_{\mu-1}]/[\pm1,\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_{\mu-1}] $$

no es trivial o tiene un orden $ N $ mayor que $ 1 $ . Dejemos que el primo $ 2 $ dividir el pedido $ N $ . Entonces existe una unidad real $ E(\zeta) $ de orden $ 2 $ en el módulo del cociente y los exponentes $ x_k $ tal que

$$ (-1)^s\prod_{j=1}^{\mu-1}\varepsilon_j^{x_j}=E^2(\zeta),\quad x_j\in\mathbb{Z},\quad s\in\{0,1\}. $$

Kummer observó que el lado izquierdo es un número positivo y también debe ser un número positivo para todos los conjugados $ \sigma^kE^2(\zeta) $ . Esto nos permite buscar los posibles exponentes para los que se cumple este criterio. Simplemente resolvemos el sistema lineal de congruencias:

$$ \left(\dfrac{1-\text{sign}\;\sigma^i\varepsilon_j}{2}\right)_{i\times j}\cdot\begin{pmatrix}x_1 \\ \vdots \\ x_{\mu-1}\end{pmatrix}\equiv\begin{pmatrix}s \\ \vdots \\ s\end{pmatrix}\pmod{2}. $$

En el $ 163^{\text{rd}} $ anillo ciclotómico de enteros obtenemos tres candidatos

$$ E_{0}^2=-\prod_{j=0}^{26}\varepsilon_{1+3j},\quad E_{1}^2=-\prod_{j=0}^{26}\varepsilon_{2+3j},\quad E_{2}^2=E_{0}^2\cdot E_{1}^2, $$

con la raíz primitiva $ \gamma=2\pmod{163} $ . Sea $ p-1=ef $ . Las unidades son invariantes bajo el homomorfismo $ \sigma^e $ , $ e=3 $ con $ \sigma^{ef/2}\varepsilon_k=\sigma^{\mu}\varepsilon_k=\varepsilon_k $ para una unidad real $ \varepsilon_k\equiv\varepsilon_k(\zeta+\zeta^{-1}) $ porque $ \sigma^\mu\zeta=\zeta^{-1} $ y debemos suponer que las unidades pueden ser expresadas por los períodos gaussianos

$$ \eta_j=\sigma^j\zeta+\sigma^{j+e}\zeta+\dots+\sigma^{j+(f-1)e}\zeta=\sum_{k=0}^{f-1}\sigma^{ke+j}\zeta,\quad j=0,\dots,e-1, $$

por lo tanto, suponemos que $ E_k=a_0\eta_0+a_1\eta_1+a_2\eta_2 $ se mantiene para algunos enteros $ a_j $ . Esto da con $ \sigma\eta_2=\eta_0 $ para los periodos $ \eta_j $ con longitud $ f=54 $

\begin{align} \pm\sigma^0 E_i&=a_0\eta_0+a_1\eta_1+a_2\eta_2 \\ \tag{2} \pm\sigma^1 E_i&=a_0\eta_1+a_1\eta_2+a_2\eta_0 \\ \pm\sigma^2 E_i&=a_0\eta_2+a_1\eta_0+a_2\eta_1 \end{align}

Escribiendo las unidades y los períodos como números complejos, podemos resolver fácilmente el sistema lineal de ecuaciones y obtener $ E_{0}^2=(5+\eta_2)^2 $ et $ E_{1}^2=(5+\eta_1)^2 $ con $ 1+\eta_0+\eta_1+\eta_2=0 $ . No hay ninguna unidad con orden $ 4 $ en el módulo del cociente. El $ 349^{\text{th}} $ El anillo ciclotómico de enteros tiene las cuatro unidades linealmente independientes \begin{align*} E(1,3)&=(30 \eta_{0}+30 \eta_{1}+36 \eta_{2}+30 \eta_{3}+42 \eta_{4}+37 \eta_{5})^2, f=58 \\ E(2,4)&=(37 \eta_{0}+30 \eta_{1}+30 \eta_{2}+36 \eta_{3}+30 \eta_{4}+42 \eta_{5})^2, f=58 \\ -E(2,3)&=(8 \eta_{0}+7 \eta_{1}+6 \eta_{2}+6 \eta_{3}+7 \eta_{4}+6 \eta_{5})^2, f=58 \\ -E(2,5)&=(7 \eta_{0}+7 \eta_{1}+6 \eta_{2})^2, f=116 \end{align*}

con

$$ E(a,b)=\prod_{j=0}^{28}\varepsilon_{a+6j}\varepsilon_{b+6j} $$

Los períodos se construyeron con la raíz primitiva $ \gamma=2\pmod{349} $ . No hay ninguna unidad con orden $ 4 $ en el módulo del cociente.

Kummer también tenía previsto un método para computar las unidades que tienen un orden impar $ q\ne p $ en el módulo cociente multiplicativo. En este caso tenemos

$$\tag{3} \varepsilon_q(\zeta)=\prod_{j=1}^{\mu-1}\varepsilon_j^{x_j}=E^q(\zeta),\quad x_j\in\mathbb{Z}. $$

Si el signo del lado izquierdo es negativo, tomamos la unidad $ -E(\zeta) $ para poder dejar este cartel fuera. Ahora, $ E^q(\zeta)=E(\zeta^q)+q\omega_q(\zeta) $ con algún entero ciclotómico $ \omega_q(\zeta) $ . Esto da

$$ \varepsilon_q^q(\zeta)=\left\lbrace E(\zeta^q)+q\omega(\zeta)\right\rbrace^q\equiv E^q(\zeta^q)=\varepsilon_q(\zeta^q)\pmod{q^2} $$

o $ \varepsilon_q^q(\zeta)\equiv\varepsilon_q(\zeta^q)\pmod{q^2} $ . Con $ \varepsilon_j\equiv\varepsilon_j(\zeta) $ para las unidades $ (1) $ también tenemos $ \varepsilon_j^q(\zeta)=\varepsilon_j(\zeta^q)+q\omega_j(\zeta) $ con algún entero ciclotómico $ \omega_j(\zeta) $ y esto da

$$ {\varepsilon_q^q(\zeta)}={\left\lbrace \prod_{j=1}^{\mu-1}\varepsilon_j^{x_j}(\zeta) \right\rbrace^q} ={\prod_{j=1}^{\mu-1}\left\lbrace \varepsilon_j(\zeta^q)+q\omega_j(\zeta) \right\rbrace^{x_j}} ={\prod_{j=1}^{\mu-1}\varepsilon_j^{x_j}(\zeta^q)\left\lbrace1+q\dfrac{\omega_j(\zeta)}{\varepsilon_j(\zeta^q)} \right\rbrace^{x_j}} \equiv{\left\lbrace \prod_{j=1}^{\mu-1}\varepsilon_j^{x_j}(\zeta^q) \right\rbrace\cdot\prod_{j=1}^{\mu-1}\left\lbrace1+qx_j\dfrac{\omega_j(\zeta)}{\varepsilon_j(\zeta^q)} \right\rbrace} \equiv{\left\lbrace \prod_{j=1}^{\mu-1}\varepsilon_j^{x_j}(\zeta^q) \right\rbrace\cdot\left\lbrace1+\sum_{j=1}^{\mu-1}qx_j\dfrac{\omega_j(\zeta)}{\varepsilon_j(\zeta^q)} \right\rbrace} \equiv{\varepsilon_q(\zeta^q)+\varepsilon_q(\zeta^q)\sum_{j=1}^{\mu-1}qx_j\dfrac{\omega_j(\zeta)}{\varepsilon_j(\zeta^q)}} \pmod{q^2} $$

o

$$ \sum_{j=1}^{\mu-1}x_j\dfrac{\omega_j(\zeta)}{\varepsilon_j(\zeta^q)}\equiv0\pmod{q} $$

con $ \varepsilon_q^q(\zeta)\equiv\varepsilon_q(\zeta^q)\pmod{q^2} $ et $ \varepsilon_q(\zeta^q)\not\equiv0\pmod{q} $ . Se trata de un sistema lineal de congruencias por lo que podemos buscar los posibles exponentes $ x_j $ y calcular las unidades similares al sistema de ecuaciones $ (2) $ . En el $ 401^{\text{st}} $ anillo ciclotómico de enteros, obtenemos dos unidades linealmente independientes

$$ {\prod_{j=0}^{24}\varepsilon_{1+8j}^{2}\cdot\varepsilon_{3+8j}\cdot\varepsilon_{4+8j}\cdot\varepsilon_{5+8j}^{2}\cdot\varepsilon_{6+8j}} ={(3836\eta_0+3637\eta_1+2718\eta_2+3877\eta_3+2915\eta_4+2835\eta_5+3116\eta_6+3559\eta_7)^3} $$

y

$$ {\prod_{j=0}^{24}\varepsilon_{1+8j}^{2}\cdot\varepsilon_{2+8j}^{2}\cdot\varepsilon_{3+8j}\cdot\varepsilon_{4+8j}^{2}\cdot\varepsilon_{7+8j}}={(-85\eta_0-118\eta_1-89\eta_2-89\eta_3-95\eta_4-107\eta_5-116\eta_6-111\eta_7)^3} $$

con periodos $ \eta_k $ de longitud $ f=50 $ y la raíz primitiva $ \gamma=3\pmod{401} $ . Un enfoque más detallado para encontrar estas unidades se puede tomar de las secciones $ 16.5 $ et $ 16.6 $ , aquí .

René Schoof afirma en su documento Números de clase de campos ciclotómicos reales de conductor primo , $ 2002 $ que había encontrado todos los factores que dividen el número $ N $ (o el número de clase del $ p^{\text{th}} $ real campo ciclotómico) para los primos $ p<10000 $ con una probabilidad de $ 98\% $ . Si pudiéramos hacerlo para el resto de $2\% $ ¡seríamos capaces de calcular muchos sistemas fundamentales de unidades!

Answer 4

Para obtener la estructura de las unidades en campos ciclotómicos, uno podría querer mirar el Lema 8.1 en:

Introducción a los campos ciclotómicos, Lawrence C. Washington.

En resumen, dice que el grupo de unidades en un campo ciclotómico es generado por las unidades ciclotómicas en el campo (que incluye -1) y el generador del campo.