$u_{xx} + u_{xy} + u_{yy} = 0$ en forma canónica

Question

¿Cómo puedo poner $u_{xx} + u_{xy} + u_{yy} = 0$ en forma canónica?

$a=1, b=1/2, c=1 $ implica que es elíptica como $b^2 - ac <0$

$dy/dx = \lambda$ donde $a\lambda^2-2b\lambda+c=0$ da $\lambda = \pm\sqrt{\frac{-3}{4}} + 1/2$

Como estas raíces son complejas, no estoy seguro de cómo proceder.

¿Puedo tomar $=y-x$ et $=x$ para darme $u_{} + u_{} - u_{} =0$ que está en forma canónica?

Answer 1

$\lambda_1=\frac{1+i\sqrt{3}}{2},\ \lambda_2=\overline{\lambda_1}=\frac{1-i\sqrt{3}}{2}\\ \implies \varepsilon=y-\lambda_1x, \ \eta=y-\overline{\lambda_1}x$

El procedimiento estándar para tratar las raíces complejas consiste en encontrar la forma canónica realizando la sustitución $\alpha=\frac{\varepsilon+\eta}{2}=y-\frac{\lambda_1+\overline\lambda_1}{2}x=y-Re(\lambda_1)x,\ \beta=\frac{\eta-\varepsilon}{2i}=\frac{\lambda_1-\bar\lambda_1}{2i}x=Im(\lambda_1)x$ .

La forma canónica así obtenida no contendrá constantes complejas.