Sustitución de variables en el laplaciano

Question

Supongamos que tenemos una función $u\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ .

Dejemos que $x \in \mathbb{R}^n$ y que $x=cy$ para una constante dada $c$ .

¿Cómo puedo escribir $\Delta_x u(x) = \Delta_x [u(cy)]$ en términos de $\Delta_y$ et $u$ ?

Answer 1

Como $x = cy$ por la regla de la cadena tenemos

$$\frac{ \partial }{\partial y^i} u(cy) = c \frac{\partial }{\partial x^i}u(cy) $$

Así que

$$\Delta_y u(cy) = c^2 \Delta_x u(x)$$