Dejemos que $f$ sea una continua, demuestre que existe $\varepsilon>0$ tal que para todo x con $|x|<\varepsilon$ tenemos $f(x)>\dfrac12$ .

Question

Dejemos que $f$ sea una función continua sobre $(1, 1)$ con $f(0)=1$ . Demuestre que existe $\varepsilon>0$ tal que para todo x con $|x|<\varepsilon$ tenemos $f(x)>\dfrac12$ .

Tengo conmigo la "solución" pero no soy capaz de seguirla en absoluto. Tampoco me extrañaría que estuviera mal ya que el libro está lleno de errores. Si alguien pudiera ayudarnos con el trabajo de raspado junto con la prueba sería de gran ayuda.

Answer 1

De ello se desprende inmediatamente de la definición de continuidad.

$f$ es continua en $a$ si $\lim_{x \to a} f(x) =f(a)$ .

Ir a un nivel más profundo, esto significa que para cualquier $\delta > 0$ hay un $\epsilon > 0$ tal que $|x-a| < \epsilon \implies |f(x)-f(a)| < \delta$ .

Ahora elige $\delta = \frac12$ y $a = 1$ .

Esto dice que hay un $\epsilon > 0$ tal que $|x-1| < \epsilon \implies |f(x)-f(1)| < \frac12$ .

Desde $f(1) = 1$ , esto dice $|x-1| < \epsilon \implies -\frac12 < f(x)-1 < \frac12$ que es lo mismo que $\frac12 < f(x) < \frac32$ .