¿Qué se entiende por un tiempo de parada?

Question

TL;DR:

• es un tiempo de paro de algún tipo de evento, o es un punto en tiempo discreto, o algo completamente distinto

• ¿cuál es un ejemplo de algo que no es un tiempo de paro?

• es mi entendimiento de los conceptos y definiciones a continuación correcto?

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Estoy teniendo dificultades para entender lo que es un tiempo de paro.

La definición estoy siempre con es como sigue: Un tiempo aleatorio $τ$ es llamado el tiempo de parada si por cualquier $n$, uno puede decidir si el evento $\{τ ≤ n\}$ (y, por tanto, el complemento de evento $\{τ > n\}$) se ha producido mediante la observación de los primeros n variables $X_1, X_2, . . . , X_n$.

Entonces se nos da un ejemplo: El tiempo de la ruina es un tiempo de paro.

$τ = \min\{n : X_n = 0\}$. $\{τ > n\} = \{X_1 ≥ 0, X_2 ≥ 0, . . . , X_n > 0\}$.

No entiendo muy bien lo que se supone que es esto para decirnos.

tiempo aleatorio $τ$ es llamado el tiempo de parada si por cualquier $n$, uno puede decidir si el evento $\{τ ≤ n\}$ se ha producido mediante la observación de los primeros n variables $X_1, X_2, . . . , X_n$

Cuando dicen que el evento $\{ τ \leq n\}$ se refieren a un tiempo específico, ¿no? e.g $τ = 1$ o quizás $τ = 4$ mientras $τ \leq n$

Es esto correcto?

Así que, si conocemos el caso de $ \{τ \leq n\}$ ha ocurrido o no, podemos concluir si la complementaria, incluso, $τ > n$ se ha producido.

Si esto está bien hasta el momento, entonces tengo problemas con el ejemplo.

El tiempo de la ruina es el de detener el tiempo, $τ = \min\{n : X_n = 0\}$

En primer lugar, el tiempo de la ruina, para mí, significa en un punto en el que ha $0$ o un saldo negativo de algún tipo de activo (Para un jugador, no hay más dinero para jugar, para el propietario de un negocio, no más dinero en efectivo para pagar los gastos u obligaciones) - ¿es correcto esto?

En ese caso el Tiempo de la ruina en que debe producirse al $X_n \leq 0$, correcto?

SI que está bien, luego continua, lo que hace

$τ = \min\{n : X_n = 0\}$ significa? Este no es el mismo que $τ = \min\{n,X_n\}$, es? ¿Qué está tratando de decir? Yo lo leí como, el mínimo de $n$, de tal manera que $X_n = 0$

Por lo que está diciendo $τ$ es el primer punto en el que estamos arruinados?

Es mi entendimiento del todo correcta? Alguien puede darme un ejemplo de lo que NO es un tiempo de paro? Hace un "tiempo de parada" se refieren a un tipo de evento?

Answer 1

Tienes algún evento, que normalmente no se sabe cuando se produce, pero que puede producirse en algún momento en el futuro. El momento en que se produce este suceso es aleatorio, y es un tiempo de paro de si, en cualquier punto en el tiempo, de saber si el evento se ha producido o no.

Un par de ejemplos rápidos.

1) Su propio (tiempo de parada): Vamos a $\tau$ indicar que el tiempo que estoy en ruinas (es decir, cuando no tengo dinero a la izquierda). En cualquier momento, puedo saber si estoy arruinado o no. Por ejemplo, yo no estoy arruinado ahora. No sé cuando se produce la ruina, o si va a ocurrir a todos, pero si no, lo sabré.

2) Aparcamiento (no es un tiempo de paro): Supongamos que estoy conduciendo a lo largo de un camino muy largo, y que yo estoy buscando el lugar de estacionamiento que se encuentra más hacia el otro extremo de la carretera (llaman a esto "el último lugar de estacionamiento"). Yo pase por los puntos a lo largo del camino, pero en cualquier momento, nunca sé si me han pasado el último puesto de estacionamiento libre. Por qué? Me podría haber pasado algún lugar vacío, pero no puedo ver si hay más espacios vacíos que más tarde, y yo no sé si el spot que me acaba de pasar fue el último o no.

3) Mi cumpleaños de este año (tiempo de parada): Este es un determinista de tiempo de paro. En cualquier momento, puedo saber si es o no mi cumpleaños ha ocurrido este año. De hecho, sé exactamente cuando mi cumpleaños se produce, lo que hace que este no es el típico tiempo de parada en el sentido de que es determinista.

Answer 2

Parecen entender el concepto bastante bien. Como tú, habría dicho que el tiempo de la ruina, $τ = \min\{n : X_n \leq 0\}$ $τ = \min\{n : X_n = 0\}$. Pero en este preciso ejemplo, el tiempo de la ruina es la primera vez que tienes exactamente 0.

El concepto de detener el tiempo se relaciona estrechamente la de filtración de un proceso estocástico. En otras palabras, $\tau $ es un tiempo de parada si el evento $\lbrace\tau \leq n\rbrace$ es medible, con respecto a la filtración está utilizando, que suele ser $\mathcal{F}_n=\sigma(X_0,\dots,X_n)$.

Answer 3

$τ = \min\{n : X_n = 0\}$ es la primera $n$, que $X_n =0.$ es decir, la primera vez que el proceso de cero, como usted ha dicho.

Un tiempo de parada no sería la primera vez $n$ tal que $X_n = \max X_j$. La razón es que en un momento dado no sabes donde va ir el proceso.