La pregunta acerca de la dependencia del tiempo de la función
$$f(t) := \langle\psi(t)|(\Delta \hat{x})^2|\psi(t)\rangle
\langle\psi(t)|(\Delta \hat{p})^2|\psi(t)\rangle,$$
donde
$$\Delta \hat{x} := \hat{x} - \langle\psi(t)|\hat{x}|\psi(t)\rangle, \qquad
\Delta \hat{p} := \hat{p} - \langle\psi(t)|\sombrero{p}|\psi(t)\rangle, \qquad
\langle\psi(t)|\psi(t)\rangle=1.$$
Vamos a utilizar la imagen de Schroedinger donde los operadores son constantes en el tiempo, mientras que las tfe y bras están evolucionando.
Edit: Estimulado por las palabras de Moshe R. y Ted Bunn agreguemos que (en virtud de la asunción (1) por debajo) de la ecuación de Schroedinger en sí es invariante bajo la inversión de tiempo del operador $\hat{T}$, que es un conjugado lineal del operador, de manera que
$$\hat{T} t = - t \hat{T}, \qquad \hat{T}\hat{x} = \hat{x}\hat{T}, \qquad \hat{T}\hat{p} = -\hat{p}\hat{T}, \qquad \hat{T}^2=1.$$
Aquí estamos limitarnos a Hamiltonianos $\hat{H}$, de modo que
$$[\hat{T},\hat{H}]=0.\qquad (1)$$
Por otra parte, si
$$|\psi(t)\rangle = \sum_n\psi_n(t) |n\rangle$$
es una solución de la ecuación de Schroedinger en una cierta base $|n\rangle$, entonces
$$\hat{T}|\psi(t)\rangle := \sum_n\psi^{*}_n(-t) |n\rangle$$
también será una solución a la ecuación de Schroedinger con un tiempo refleja la función $f(-t)$.
Por lo tanto, si $f(t)$ no es constante en el tiempo, entonces podemos suponer que (posiblemente después de un tiempo de reversión de la operación) que existen dos veces $t_1<t_2$ $f(t_1)>f(t_2)$. Esto estaría en contradicción con el enunciado de la pregunta original. Para finalizar el argumento, a continuación ofrecemos un ejemplo de un no-constante de la función $f(t)$.
Considere la posibilidad de un oscilador armónico simple Hamiltonianos con la energía de punto cero de $\frac{1}{2}\manejadores\omega$ resta para su posterior conveniencia.
$$\hat{H}:=\frac{\hat{p}^2}{2m}+\frac{1}{2}m\omega^{2}\hat{x}^2
-\frac{1}{2}\manejadores\omega=\manejadores\omega\hat{N},$$
donde $\hat{N}:=\hat{a}^{\daga}\hat{a}$ es el número de operador.
Vamos a poner las constantes $m=\manejadores=\omega=1$ a uno por la simplicidad. Luego de la aniquilación y creación de operadores
$$\hat{a}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} + i \hat{p}), \qquad
\hat{a}^{\daga}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{x} - i \hat{p}), \qquad
[\hat{a},\hat{a}^{\daga}]=1,$$
o, por el contrario,
$$\hat{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}(\hat{a}^{\daga}+\hat{a}), \qquad
\hat{p}=\frac{i}{\sqrt{2}}(\hat{a}^{\daga}-\hat{a}), \qquad
[\hat{x},\hat{p}]=i,$$
$$\hat{x}^2=\hat{N}+\frac{1}{2}\left(1+\hat{a}^2+(\hat{a}^{\daga})^2\right) \qquad
\hat{p}^2=\hat{N}+\frac{1}{2}\left(1-\hat{a}^2-(\hat{a}^{\daga})^2\right).$$
Considere el espacio de Fock $|n\rangle := \frac{1}{\sqrt{n!}}(\hat{a}^{\daga})^n |0\rangle$
tal que $\hat{a}|0\rangle = 0$. Considerar el estado inicial
$$|\psi(0)\rangle := \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle+|2\rangle\right) \qquad
\langle \psi(0)| = \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\langle 0|+\langle 2|\right).$$
Entonces
$$|\psi(t)\rangle = e^{-i\hat{H}t}|\psi(0)\rangle
= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(|0\rangle+e^{-2it}|2\rangle\right),$$
$$\langle \psi(t)| = \langle\psi(0)|e^{i\hat{H}t}
= \frac{1}{\sqrt{2}}\left(\langle 0|+\langle 2|e^{2it}\right),$$
$$\langle\psi(t)|\hat{x}|\psi(t)\rangle=0, \qquad
\langle\psi(t)|\sombrero{p}|\psi(t)\rangle=0.$$
Por otra parte,
$$\langle\psi(t)|\hat{x}^2|\psi(t)\rangle=\frac{3}{2}+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2t), \qquad
\langle\psi(t)|\sombrero{p}^2|\psi(t)\rangle=\frac{3}{2}-\frac{1}{\sqrt{2}}\cos(2t),$$
debido a que $\hat{a}^2/2\rangle=\sqrt{2}|0\rangle$. Por lo tanto,
$$f(t) = \frac{9}{4} - \frac{1}{2}\cos^2(2t),$$
que no es constante en el tiempo, y hemos terminado. O, alternativamente, podemos completar el contra-ejemplo sin el uso de arriba inversión de tiempo argumento simplemente realizando una adecuada traducción en tiempo $t\t t_0$.
