Cómo resolver $\sin 2x \sin x+(\cos x)^2 = \sin 5x \sin 4x+(\cos 4x)^2$ ?

Question

Cómo resolver $\sin 2x \sin x+(\cos x)^2 = \sin 5x \sin 4x+(\cos 4x)^2$ ? $$\begin{align*} 2\cos x(\sin x)^2+(\cos x)^2 & = \frac{1}{2}(\cos x- \cos 9x) +(\cos 4x)^2\\ 4\cos x(1-(\cos x)^2)+2(\cos x)^2 & = \cos x + \cos 9x +(2(\cos 4x)^2-1)+1\\ \cos x(4(1-(\cos x)^2 + 2\cos x -1) & = \cos 9x + \cos 8x + 1 \end{align*}$$ No veo ninguna manera de deshacerse de $8x$ y $9x$ como argumentos para tener los mismos ángulos desde allí

Answer 1

Puse esto a Wolfram Alpha con $x=\cos\theta$ y obtuve una salida de $$(2 x - 1) (2 x + 1) (x - 1) (x + 1) (32 x^5 - 16 x^4 - 32 x^3 + 12 x^2 + 6 x - 1)$$ Es se devolvió raíces de $$x\in\{-0.841254,-0.415415,0.142315,0.654861,0.959493\}$$ para el último factor, por lo que hay que resolver un quintento para obtener todas las raíces parece.

EDITAR : Oops, hablé demasiado pronto. Engañando a la respuesta de @Math1000, podemos ver ahora que $$\begin{align}\frac{\sin\frac{11y}2}{\sin\frac y2}&=-\left(32\cos^5(\pi-y)-16\cos^4(\pi-y)-32\cos^3(\pi-y)\right.\\ &\quad\left.+12\cos^2(\pi-y)+6\cos(\pi-y)-1\right)\end{align}$$ Y luego $11y/2=n\pi$ por lo que las raíces son $$\theta\in\{\frac{\pi}3,-\frac{\pi}3,\frac{2\pi}3,-\frac{2\pi}3,0,\pi,\frac{9\pi}{11},-\frac{9\pi}{11},\frac{7\pi}{11},-\frac{7\pi}{11},\frac{5\pi}{11},-\frac{5\pi}{11},\frac{3\pi}{11},-\frac{3\pi}{11},\frac{\pi}{11},-\frac{\pi}{11}\}$$

EDITAR : Después de un agradable paseo en el aire frío, el camino más directo se hace evidente: a partir de $$\sin2x\sin x+\cos^2x=\sin5x\sin4x+\cos^24x$$ Podemos aplicar $\sin A\sin B=\frac12\left(\cos(A-B)-\cos(A+B)\right)$ y $\cos^2A=\frac12(\cos2A+1)$ para obtener $$\frac12(\cos x-\cos3x)+\frac12(\cos2x+1)=\frac12(\cos x-\cos9x)+\frac12(\cos8x+1)$$ Reordenar para $$\cos9x+\cos2x-\cos8x-\cos3x=0$$ A continuación, aplique $$\cos A+\cos B=2\cos\left(\frac{A+B}2\right)\cos\left(\frac{A-B}2\right)$$ Al llegar a $$\begin{align}0&=2\cos\left(\frac{11x}2\right)\cos\left(\frac{7x}2\right)-2\cos\left(\frac{11x}2\right)\cos\left(\frac{5x}2\right)\\ &=2\cos\left(\frac{11x}2\right)\left(\cos\left(\frac{7x}2\right)-\cos\left(\frac{5x}2\right)\right)\end{align}$$ Y, por último, podemos recurrir a $$\cos A-\cos B=-2\sin\left(\frac{A+B}2\right)\sin\left(\frac{A-B}2\right)$$ De modo que $$-4\cos\left(\frac{11x}2\right)\sin(3x)\sin\left(\frac x2\right)=0$$ Por lo tanto, nuestras soluciones son $$\frac{11x}2=\left(n+\frac12\right)\pi$$ para $-5\le n\le4$ y $$3x=n\pi$$ para $-2\le n\le3$ , $n\in\mathbb{Z}$ . Esto explica todos los $16$ soluciones $\pmod{2\pi}$ con mucho menos esfuerzo. Si alguien hubiera susurrado " $11$ " en su oído esta solución se habría hecho inmediatamente evidente.

Answer 2

Utilizando la fórmula de Euler $e^{ix} = \cos x+i\sin x$ podemos simplificar esto un poco: $$\begin{align} \sin 2x\sin x + \cos^2x &= \frac1{2i}\left(e^{2ix}-e^{-2ix}\right)\frac1{2i}\left(e^{ix}-e^{-ix} \right) + \frac14\left(e^{ix} + e^{-ix}\right)^2\\ &= \frac14\left(-e^{3ix} + e^{ix} +e^{-ix}-e^{-3ix} + e^{2ix} + 2 + e^{-2ix} \right) \end{align}$$ y $$\begin{align} \sin 5x\sin 4x + \cos^24x &= \frac1{2i}\left(e^{5ix}-e^{-5ix}\right)\frac1{2i}\left(e^{4ix}-e^{-4ix}\right)+\frac14\left(e^{4ix}+e^{-4ix}\right)^2\\ &= \frac14\left(-e^{9ix} + e^{ix} +e^{-ix} -e^{-9ix} + e^{8ix} + 2 + e^{-8ix} \right). \end{align}$$ Factorizando y restando los términos comunes, tenemos $$-(e^{3ix} +e^{-3ix}) +e^{2ix}+e^{-2ix} = -(e^{9ix}+e^{-9ix}) +e^{8ix}+e^{-8ix},$$ y por lo tanto $$\cos9x + \cos2x = \cos8x +\cos3x.$$ De la identidad $$\cos\theta + \cos\varphi = 2\cos\left(\frac{\theta+\varphi}2\right)\cos\left(\frac{\theta-\varphi}2\right)$$ esto se convierte en $$\cos\left(\frac{11}2x\right)\left(\cos\left(\frac72x\right) - \cos\left(\frac52x\right) \right) = 0.$$ De la identidad $$\cos\theta - \cos\varphi = -2\sin\left(\frac{\theta+\varphi}2\right)\sin\left(\frac{\theta-\varphi}2\right)$$ esto se convierte en $$\cos\left(\frac{11}2x\right)\sin(3x)\sin\left(\frac12x\right)=0.$$ Por lo tanto, las soluciones son $$x = \frac{2\pi\left(n+\frac12\right)}{11},\ n=-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4$$ y $$x = \frac{n\pi}3,\ n=-2,-1,0,1,2,3.$$

Answer 3

Como $5-4=2-1$

$$2(\sin x\sin2x-\sin5x\sin4x)=2(\cos^24x-\cos^2x)$$

Utilizando http://mathworld.wolfram.com/WernerFormulas.html

$$\cos x-\cos3x-(\cos x-\cos9x)=-2(\sin^4x-\sin^2x)$$

Como $\dfrac{9-3}2=4-1,$

utilizando http://mathworld.wolfram.com/ProsthaphaeresisFormulas.html y Prueba $\sin(A+B)\sin(A-B)=\sin^2A-\sin^2B$

$$2\sin\dfrac{9x-3x}2\cdot\sin\dfrac{9x+3x}2=2\sin(4x+x)\sin(4x-x)$$

¡Debería dejarlo aquí para ti!

Answer 4

Deberías ser capaz de transformar la ecuación en un polinomio de $\cos(x)$ .

Por ejemplo, $\sin(2x)\sin(x)=2\sin^2(x)\cos(x)=2(1-\cos^2(x))\cos(x)$