¿Por qué el mínimo de la suma superior y el sumo de la suma inferior serán el único punto intermedio?

Question

Digamos que tenemos una función $f$ y que $L(f,P)$ denota la suma inferior de $f$ en cualquier partición $P$ y $U(f,P)$ la suma superior de $f$ en $P$ . Mi libro escribe : Si $$sup\{ L(f,P): \text{P is a any partition}\} = inf \{U(f,P) : \text{P is any partition}\}$$ Entonces son el único número entre las sumas superiores e inferiores de $f$ en cualquier partición.

Realmente no sé por qué serán el único número intermedio. ¿Puede alguien ayudarme?

Digamos que tenemos un conjunto de particiones $$A = \{P_1, P_2, P_3 .... P_n\}$$ tal que $P_2$ tienen más número de puntos que $P_1$ , $P_3$ tienen más número de puntos que $P_2$ y así sucesivamente. $P_n$ contiene el mayor número de puntos. Entonces, por el lema sabemos que $$ L(f, P_1)\leq L(f,P_2)\leq .... \leq L(f,P_n)$$ y $$ U(f,P_n) \leq U(f, P_{n-1} \leq ... U(f,P_1)$$ si $$L(f,P_n) = U(f, P_n)$$ entonces también tenemos tantos puntos/números entre cualquier dos suma superior e inferior (de la misma partición). Por ejemplo, elijamos la partición $P_5$ para ello tenemos $$ L(f,P_5) \leq L(f,P_6) ... \leq L(f,P_n) = U(f,P_n) \leq U(f,P_{n-1}) ... \leq U(f,P_5)$$ tenemos tantos números entre la suma superior e inferior de $f$ en la partición $P_5$ .

Por favor, explique lo que quiso decir.

Answer 1

Esto no tiene nada que ver con sumas superiores o inferiores ni con particiones.

Resultado evidente : Si un conjunto no vacío $A$ de números reales está acotado por encima y otro conjunto no vacío $B$ de números reales está acotado por debajo con $\sup A=\inf B=c\text{ (say)} $ entonces $c$ es el único número que se encuentra entre los elementos de $A$ y elementos de $B$ .

Bueno, en primer lugar no puede haber dos elementos distintos como $c, d$ con la propiedad mencionada anteriormente. Si hubiera tales números con $c<d$ entonces tenemos $$a\leq c<d\leq b$$ para todos $a\in A, b\in B$ . Pero esto implica $\sup A\leq c<d\leq \inf B$ lo que es contrario a nuestras hipótesis.

Por otro lado $c$ posee esta propiedad por definición de sumo e ínfimo.

Answer 2

Tenemos $$L(f,P_1) \leq L(f,P_2) ... \leq \sup L(f,P) \leq \inf U(f,P) \leq... U(f,P_2) \leq U(f,P_1),$$ no importa cómo se elijan las particiones. Ambos $\sup L(f,P)$ y $\inf L(f,P)$ son mayores o iguales que todas las sumas inferiores, y ambas son menores o iguales que todas las sumas superiores. Si ocurre que $\sup L(f,P)=\inf L(f,P)$ , entonces su valor común es el único número con esta propiedad. (Por supuesto, si no son iguales, entonces cualquier número entre ellos también tiene la propiedad).

Espero que esto ayude.