Calcular el supremo de la serie de Taylor de una función holomorfa

Question

Dejar $t\in [0,1[$ y la función: $f_t(z) = \frac{z-t}{1-zt}$ que es holomorfo en el disco abierto $D(0,1)$ .

Estoy tratando de encontrar $\sup_{|z|<1}|\sum_{k=0}^{+\infty} a_n z^n|$ donde $\sum_{k=0}^{+\infty} a_n z^n$ es la serie de Taylor en $0$ de $f_t(z)$

Lo que hice:

He calculado las series de Taylor en $0$ de $f_t(z)$ :

$f_t(z)=-t + \sum_{k \geq 1}^{+\infty}z^k(t^{k-1} - t^{k})$

A partir de aquí no sé cómo seguir, Cualquier ayuda, una pista es muy apreciada.

Muchas gracias.

Answer 1

Es holomorfo, así que no puede tener un máximo interior. Como $|t|<1$ La definición de $f_{t}$ se extiende perfectamente a $|z|=1$ Así pues, dejemos que $z = e^{i\theta}$ e investigar:

$$|f_{t}|^{2} = \frac{(z-t)(\bar{z}-t)}{(1-zt)(1-\bar{z}t)} = \frac{1-2\cos \theta t + t^{2}}{1-2\cos \theta t + t^{2}} = 1$$ por lo que el supremum es $1$ .

Alternativamente, observe que $f_{t}$ es un mapa de Mobius, y por tanto envía círculos y líneas a círculos y líneas, y está determinado por las imágenes de tres puntos distintos cualesquiera en $\mathbb{C}$ . El mapa envía $1\mapsto 1$ , $-1\mapsto -1$ y $i \mapsto \frac{i-t}{1-it}$ (que tiene módulo $1$ ). Así que envía el círculo unitario a sí mismo, y por continuidad envía todo el disco unitario a sí mismo. En particular, $|z| \le 1 \implies |f(z)| \le 1$ (demostrar que se alcanza el supremum es sencillo).