Valores de $n$ para lo cual $10^n + 1$ no es libre de cuadrados

Question

Mi pregunta está un poco relacionada con esta cuestión:

Demostrar que todos los números $10^n + 1$ son libres de cuadrados

Sólo con una pequeña modificación. Quiero encontrar los valores de $n$ para el que un número de esta forma es no libre de cuadritos. Un valor sugerido en el enlace anterior es $n = 11$ . ¿Existen otros valores de $n$ para el que el número no es libre de cuadrados.

Pregunta adicional: ¿Existen infinitos valores de $n$ que son una respuesta a mi pregunta?

Answer 1

Sí, hay infinitos. De hecho, se puede demostrar que si $10^n+1$ no está libre de cuadrados y $k$ es impar, entonces $10^{nk}+1$ tampoco es cuadrado fre. Esto se deduce de la igualdad $$10^{nk}+1=10^{nk}+1^k=(10^n)^k-(-1)^k$$ y del hecho de que $10^n+1$ no es libre de cuadrar.

Puede obtener más información sobre estas cifras en el OEIS .

Answer 2

Los valores están en una lista que va como sigue, y todos los múltiplos de impar.

11, 21, 39, 202, 243, 253, 292, ...

que son múltiplos de los cuadrados de 11, 7, 13, 101, 487, 253, 73, ...

Aquí la regla es sencilla. 11 divide 10+1, 10^3+1, 10^5+1, &c, y así 11^2 divide 11 veces el índice, es decir 11^11+1, 11^33+1, 11^55+1, &c.

Cualquier primo p que tenga un periodo 2n, divide 10^(2kn+n)+1. Esto representa que p² también tiene un período, y es p veces el período de p. 2k+1 representa un número impar.

El ejemplo de 487 dividiendo a 10^243+1, se debe a que 487 es un septenario decimal, es decir, un primo que divide a su propio periodo en base 10. El ejemplo primo de un sevenite es en base 18, donde

1/7 = 0. 2 10 5 2 10 5 ... pero 2 10 5 es un múltiplo de 7 1/7^2 = 0. 0 6 11 0 6 11 0 6 11 .. pero 6 11 es un múltiplo de 7 1/7^3 = 0. 0 17 0 0 17 0 17 ... y 17 no es un múltiplo de 7

En el ejemplo anterior, cada múltiplo impar de 2 en 18^n+1, es un múltiplo de 5, y cada ocasión en que 18 divide a n un número impar de veces, es también un múltiplo de 37.