Dada una velocidad actual y una energía de entrada fija, ¿cuánto más rápido será una partícula relativista?

Question

La energía cinética relativista de una partícula con masa $m$ y la velocidad $v_0$ es $$m c^2 (\gamma_0 - 1) \textrm{ where } \gamma_0 = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v_0^2}{c^2}}}$$

Me gustaría saber a qué velocidad se moverá la partícula ( $v_1$ ) después de la energía $E_i$ se añade al sistema en la dirección de la aceleración positiva.

Supongo que puedo utilizar la siguiente equivalencia:

$$E_i = E_1 - E_0 = m c^2 (\gamma_0 - 1) - m c^2 (\gamma_1 - 1)$$

Creo que mi objetivo es resolver $v_1$ (de $\gamma_1$ por analogía) dado $E_i$ y $v_0$ .

Tengo dos preguntas:

En primer lugar, ¿es correcto este planteamiento o estoy entendiendo mal cómo funciona la cinemática?

En segundo lugar, ¿cómo puedo resolver la ecuación de $v_1$ ? Me parece que el álgebra me supera y no he podido aprovechar los solucionadores online para mejorar mi situación. Cualquier sugerencia sobre cómo abordar esto sería muy apreciada.

Answer 1

No necesitas la energía cinética. Trabajando con la energía total $\gamma m c^2$ produce el mismo resultado.

Suponiendo que tanto el total energía inicial $\bar E_0 = \gamma_0 m c^2$ y la energía adicional $E_i$ son conocidos, escriba $\gamma_1 mc^2 = \frac{mc^2}{\sqrt{1-\beta_1^2}} = \bar E_0 +E_i$ para $\beta_1 = \frac{v_1}{c}$ entonces $$ \sqrt{1-\beta_1^2} = \frac{mc^2}{\bar E_0+E_i} \;\;\Rightarrow \;\; \beta_1 = \sqrt{1-\left(\frac{mc^2}{\bar E_0+E_i}\right)^2} $$