Se realizan mil tiradas independientes de un dado justo.

Question

Pregunta: Se realizan mil tiradas independientes de un dado justo. Si el número $6$ aparece exactamente $200$ veces, encuentre la probabilidad de que el número $5$ aparece menos de $150$ tiempos. (Utilice un cuadro estadístico adecuado)

Respuesta: $0.1762$

Dejemos que $p$ sea la probabilidad de sacar un 6 en una tirada, y $q=1-p$ .

Ahora se trata de un problema de probabilidad condicional en el que tenemos que aplicar la aproximación binomial a la distribución normal estándar ya que $n \to \infty$ y $p,q < \infty$ .

Dejemos que $X_1$ sea la variable aleatoria correspondiente a la obtención de $6$ y $X_2$ sea la variable aleatoria correspondiente a la obtención de $5$ .

Ahora la probabilidad requerida es $$ P(X_2<150|X_1=200) =\frac{P((X_2<150 )\ \mathrm{ and }\ (X_1=200))}{P(X_1=200)} $$ Ahora se puede encontrar fácilmente el denominador, pero tengo problemas con el numerador.

¿Cómo proceder?

Answer 1

En este caso es bastante trivial calcular la probabilidad condicional: has hecho 1000 tiradas y sabes que 200 de ellas no eran un 5. Además, las tiradas restantes se eligieron del conjunto {1,2,3,4,5}. Por lo tanto, es lo mismo que lanzar un dado de 5 caras 800 veces.

$P(X_2 < 150)$ se aproxima por una distribución normal con media $\mu = 800/5 = 160$ y $\sigma^2 = 800(1/5)(4/5) = 128$ . EDIT: Como se ha señalado, debe tomar 0,5 de 150, para tener en cuenta la aproximación del continuo de un espacio discreto.

Si va a utilizar una tabla, ahora debe estandarizar su distribución, lo que se hace tomando la media de $X_2$ y luego dividir por $\sigma$ . Por lo tanto, lo que se quiere calcular es

$$P(X_2 < 150) = \int_{-\infty}^{\frac{149.5-160}{\sqrt(128)}} \frac{1}{2\pi} exp(-\frac{1}{2}x^2)= 0.1762 $$

según WolframAlpha.

De nuevo, si buscas en una tabla, normalmente dan integrales de $-\infty$ a algún número positivo. Como se busca la integral de $-\infty$ a -0,928 aprox, que es negativo, esto es lo mismo que integrar de +0,928 a $+\infty$ o, en caso contrario, 1 menos la probabilidad integrada de $-\infty$ a +0,928.

Así que busca en la tabla lo más cercano a 0,928, nombra eso $p$ y entonces la respuesta es $1-p$ .