La esencia de mi pregunta es esta:
Deje $Y \in \mathbb{R}^n$ ser un multivariante variable aleatoria normal con media de $\mu$ y matriz de covarianza $\Sigma$. Deje $Z := \log(Y)$, es decir,$Z_i = \log(Y_i), i \in \{1,\ldots,n\}$. ¿Cómo puedo comparar la AIC de un modelo de ajuste a la observada en las realizaciones de $Y$ frente a un modelo de ajuste a la observada en las realizaciones de $Z$?
Mi inicial y un poco más la pregunta:
Deje $Y \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$ ser un multivariante variable aleatoria normal. Si quiero comparar un ajuste del modelo a $Y$ frente a un ajuste del modelo a $\log(Y)$, yo podía mirar en su registro de las probabilidades. Sin embargo, puesto que estos modelos no anidados, yo no puedo comparar el registro de las probabilidades (y cosas como AIC, etc.) directamente, pero tengo que transformarlos.
Sé que si $X_1,\ldots,X_n$ son variables aleatorias conjuntas pdf $g(x_1,\ldots,x_n)$ e si $Y_i = t_i(X_1,\ldots,X_n)$ para uno-a-uno transformaciones $t_i$$i \in \{1,\ldots,n\}$, entonces el pdf de $Y_1,\ldots,Y_n$ está dado por $$f(y_1,\ldots,y_n)=g(t_1^{-1}(y),\ldots,t_n^{-1}(y))\det(J)$$ where $J$ es el Jacobiano asociado con la transformación.
Puedo simplemente tiene que usar la regla de transformación para comparar
$$l(Y) = \log(\prod_{i=1}^{n}\phi(y_i;\mu,\Sigma))$$ to $$l(\log(Y))=\log(\prod_{i=1}^{n}\phi(\log(y_i);\mu,\Sigma))$$
o es que hay algo más que pueda hacer?
[editar] se Olvidó de colocar los logaritmos en las dos últimas expresiones.
