Es $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ?

Question

En este Correo electrónico: vimos el isomorfismo de los espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ . Acabo de encontrarme con esta pregunta:

• Es $\mathbb{Q}(\sqrt{2}) \cong \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ ?

Los conozco como $\mathbb{Q}$ -Espacios vectoriales, son isomorfos desde el post enlazado. ¿Pero como campos son isomorfos? No sé cómo demostrarlo ni cómo refutarlo.

Answer 1

En términos más generales: supongamos que $d$ y $d'$ son ambos enteros libres de cuadrados, ambos diferentes de $1$ y considerar $F_1 = \mathbb{Q}(\sqrt{d})$ y $F_2 = \mathbb{Q}(\sqrt{d'})$ .

Ambos son isomorfos como $\mathbb{Q}$ -ya que ambos son de dimensión $2$ o, más explícitamente, cada elemento de $F_1$ puede escribirse de forma única como $a+b\sqrt{d}$ con $a,b\in\mathbb{Q}$ (único porque $\sqrt{d}\notin\mathbb{Q}$ ), y cada elemento de $F_2$ puede escribirse de forma única como $x+y\sqrt{d'}$ con $x,y\in\mathbb{Q}$ . El mapa $f\colon F_1\to F_2$ dado por $f(a+b\sqrt{d}) = a + b\sqrt{d'}$ es aditivo y $\mathbb{Q}$ -homogénea, claramente biyectiva, por lo que $F_1$ y $F_2$ son isomorfos como espacios vectoriales sobre $\mathbb{Q}$ .

Sin embargo, nunca son isomorfos como campos; claramente, $d$ es un cuadrado en $F_1$ . Yo reclamo $d$ sólo puede ser un cuadrado en $F_2$ si $d=d'$ . De hecho, si $(x+y\sqrt{d'})^2 = d$ . Esto significa que $x^2 + d'y^2 + 2xy\sqrt{d'} = d$ Por lo tanto $2xy = 0$ y $x^2+d'y^2=d$ . Si $x=0$ entonces $d=d'y^2$ Así que despejando los denominadores se obtiene $da^2 = d'b^2$ para algunos $a,b\in\mathbb{Z}$ , $\gcd(a,b)=1$ ya que ambos $d$ y $d'$ son libres de cuadrados, se deduce que $|a|=|b|=1$ Así que $d=d'$ . Si $y=0$ entonces $d=x^2$ Así que $d$ es el cuadrado de un racional, contradiciendo el hecho de que es un entero sin cuadrado diferente de $1$ . Así, de $d$ es un cuadrado en $F_2$ entonces $d=d'$ . Por lo tanto, si $F_1\cong F_2$ entonces $d=d'$ (lo contrario es inmediato).

Ahora bien, como toda extensión cuadrática de $\mathbb{Q}$ es igual a $\mathbb{Q}(\sqrt{d})$ para algún entero libre de cuadrados $d$ diferente de $1$ se concluye que dos extensiones cuadráticas cualesquiera son idénticas o no son isomorfas como campos.

Answer 2

Para demostrarlo: Sospechar que los campos no son isomorfos, entonces podemos intentar encontrar una propiedad que se mantiene dentro de uno y no en el otro - pero cuya verdad se preserva por el isomorfismo.

En el campo $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ hay un elemento que satisface la propiedad de campo $x^2=2$ . No hay ningún elemento en $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ que satisface esto, pero supongamos para una contradicción que hubiera un isomorfismo $\psi : \mathbb{Q}(\sqrt{2}) \rightarrow \mathbb{Q}(\sqrt{3})$ tendríamos $\psi(x^2) = \psi(2)$ lo que equivale a $\psi(x)^2 = \psi(1)+\psi(1)$ y como $\psi(1) = 1$ tenemos un elemento de $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ que, al cuadrado, es 2.

Answer 3

Sugerencia $\ $ Compara los discriminantes: $\{\:\!(\alpha-\alpha'\big)^2:\ \alpha \in \mathbb Q(\sqrt 2)\:\!\} =\,2\:\!\mathbb Q^{2}\, $ contra. $\, 3\:\!\Bbb Q^{2}\, $ para $\rm\ \mathbb Q(\sqrt 3)\ $

Tenga en cuenta que si $\rm\ \alpha,\: \alpha'\ \not\in\mathbb Q\ $ son conjugados entonces siguen siéndolo bajo cualquier isomorfismo de campo ya que su polinomio mínimo $\rm\ (x-\alpha)\ (x-\alpha')\ $ está en $\rm\:\mathbb Q[x]\:$ por lo que se fija por cualquier isomorfismo.

De hecho, los campos cuadráticos se caracterizan únicamente por su discriminante .

Answer 4

Respuesta corta: los campos de división de $x^2-2$ y $x^2-3$ en $\mathbb{Q}$ no pueden ser el mismo campo o campos isomorfos. Por ejemplo, hay infinitos primos Impares $p$ tal que $\left(\frac{2}{p}\right)=1$ y $\left(\frac{3}{p}\right)=-1$ (cualquier primo $\equiv 17\pmod{24}$ por ejemplo) y los infinitos primos Impares $p$ tal que $\left(\frac{2}{p}\right)=-1$ y $\left(\frac{3}{p}\right)=1$ (cualquier primo $\equiv13\pmod{24}$ por ejemplo). En particular $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})$ es una extensión cuadrática de ambos $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ y estos campos no pueden ser isomorfos.

Answer 5

La única posibilidad de un isomorfismo de los campos de extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ y $\mathbb{Q}(\sqrt{3})$ , fijando $\mathbb{Q}$ (el subcampo primo) sería $\varphi:\sqrt{2}\mapsto \sqrt{3}$ . Pero $\varphi$ conserva productos y así:

$2 = \varphi(\sqrt{2}\sqrt{2}) = \varphi(\sqrt{2})\varphi(\sqrt{2}) = \sqrt{3}\sqrt{3} = 3$ contradicción. Así que los campos mencionados no pueden ser isomorfos.