Sé que el criterio de Eisenstein puede garantizarlo (cuando es aplicable), pero ¿qué pasa con esto?
Además, ¿hay alguna otra prueba que se pueda utilizar para comprobar la irreductibilidad además de estas dos? Por ejemplo, $x^4+2x^2+49$ ¿sobre los racionales?
Con respecto a tu pregunta concreta (y a la de los cuarterones en general), la RRT no resuelve el problema, pero puede ayudar. Una vez que verifiques que tu cuártico no tiene raíces, la única forma en que se puede factorizar es como un producto de polinomios cuadráticos. Además, puedes garantizar que las ecuaciones cuadráticas son mónicas y tienen coeficientes enteros. Observando que los términos constantes se multiplican a $49$ Tenemos cuatro opciones:
$$x^4 + 2x^2 + 49 = (x^2 + ax + 7)(x^2 + bx + 7)$$
$$x^4 + 2x^2 + 49 = (x^2 + ax - 7)(x^2 + bx - 7)$$
$$x^4 + 2x^2 + 49 = (x^2 + ax + 1)(x^2 + bx + 49)$$
$$x^4 + 2x^2 + 49 = (x^2 + ax -1)(x^2 + bx - 49)$$
La desaparición del término cúbico da $a = -b$ en cada escenario, y la desaparición del $x$ término elimina los escenarios 3 y 4. Comparando el $x^2$ términos en los dos primeros escenarios da:
$$14 - a^2 = 2$$
$$-14 - a^2 = 2$$
Y se ve fácilmente que ninguno de ellos tiene soluciones en los números enteros.
Utilizando el teorema de la raíz racional se puede saber si un polinomio dado con coeficientes enteros tiene raíces racionales.
Si el grado del polinomio es mayor que $3$ este teorema no te dice nada. Por ejemplo, considere $(x^2-2)(x^2+2)=x^4-4$ que no tiene raíces racionales, pero es reducible sobre $\Bbb Q$ .
Si el grado de un polinomio dado $f(x)$ es $1,2$ o $3$ entonces, si $f(x)$ es reducible, su grado es $2$ o $3$ (ya que los polinomios lineales son irreducibles). Por lo tanto, $f(x)=g(x)h(x)$ para algunos polinomios con coeficientes racionales y grados mayores que $0$ . De ello se deduce que el grado de $g(x)$ o $h(x)$ es $1$ . Por lo tanto, $f(x)=p(x)(x-r)$ para algún polinomio con coeficientes racionales $p(x)$ y para algunos $r\in \Bbb Q$ . De ello se desprende que $f(r)=0$ y por lo tanto $f(x)$ tiene una raíz racional.
Nota de edición: Mi razonamiento anterior no respondía a la pregunta tal y como apuntaba @Math Gems (gracias).
Otras personas (hasta ahora) están publicando respuestas que advierten contra el uso del teorema de las raíces racionales para la irreducibilidad por encima del grado 3, pero vale la pena señalar que hay es una situación de grado superior en la que la falta de una raíz implica realmente la irreductibilidad.
Teorema: Sea $K$ sea un campo y $p$ sea un número primo. Para $a \in K^\times$ si el polinomio $X^p - a$ no tiene raíz en $K$ entonces $X^p - a$ es irreducible en $K[X]$ . De forma equivalente, si $a$ no tiene un $p$ raíz en $K$ entonces $X^p - a$ es irreducible en $K[X]$ .
El teorema es cierto para todos los campos y números primos, incluso si $p$ es la característica de $K$ .
Sobre un campo, los cúbicos y los cuadráticos son irreducibles si no tienen raíz racional, ya que si son reducibles deben tener un factor lineal, por tanto una raíz racional.
Pero los polinomios de grado $> 3$ puede ser reducible con todos los factores de grado $\ge 2$ y, por tanto, sin raíz racional. Sin embargo, hay algunos casos en los que la irreductibilidad de los polinomios de grado superior puede reducirse a la comprobación de raíces, por ejemplo, este resultado clásico:
Teorema $\ $ Supongamos que $\rm\:c\in F\:$ un campo, y $\rm\:0 < n\in\mathbb Z\:.$
$\rm\quad x^n - c\ $ es irreducible sobre $\rm\:F \iff c \not\in F^p\:$ para todos los primos $\rm\:p\: |\: n\:$ y $\rm\ c\not\in -4\:F^4\:$ cuando $\rm\: 4\ |\ n\:. $
Una prueba se encuentra en muchos libros de texto de Teoría de Campos, por ejemplo, Karpilovsky, Topics in Field Theory, Teorema 8.1.6.
Otro método usos: $\rm\, p(x)\, $ es primo (irreducible) si asume un valor primo para un valor suficientemente grande $\rm\, |x|.\: $ Como ejemplo, Polya-Szego popularizó La prueba de irreductibilidad de Arthur Cohn, que $\rm\, p(x) \in {\mathbb Z}[x]\,$ es primo si $\rm\, p(b)\, $ anota un primo en el radix $\rm\,b\,$ (por lo que necesariamente $\rm\,0 \le p_i < b),\:$ Por ejemplo $\rm\,f(x) = x^4\! + 6 x^2\! + 1\,$ factores $\rm\,mod\ p\,$ para todos los primos $\rm\,p,\,$ Sin embargo, $\rm\,f(x)\,$ es primo ya que $\rm\,f(8) = 10601\,$ octal $= 4481$ es primo. Nota: La prueba de Cohn falla si, en el radix $\rm\,b,\,$ se permiten dígitos negativos, por ejemplo $\rm\ f(x) = x^3\! - 9 x^2\! + x-9 = (x-9)(x^2 + 1)\ $ pero $\rm\,f(10) = 101\,$ es primo.
Y aquí hay otra prueba (debida a Shur) que no requiere pruebas de raíz.
Teorema $\ $ $\rm\:n>0,\,\ c_i\in\Bbb Z\:$ $\Rightarrow$ $\rm\ \dfrac{x^n}{n!} +\, c_{n-1}\dfrac{x^{n-1}}{(n-1)!} +\,\cdots + c_1 x \pm1 \ $ es irreducible en $\rm\,\Bbb Q[x].$
El teorema de la raíz racional sólo puede ayudarte a encontrar si hay racionales racionales.
Un polinomio es irreducible $\implies$ no tiene raíces.
Un polinomio no tiene ninguna raíz $\not\implies$ es irreducible .
Sin embargo, la última implicación es correcta si el grado del polinomio es $\leq3$ ya que la factorización de dicho polinomio debe tener un factor lineal
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