Tengo un libro de texto que dice que para una función $H(t) = \int_{a(b)}^{b(t)} f(x, t) \mathop{}\!dx$ , $$ \frac{\mathop{}\!dH}{\mathop{}\!dt}(0) = \left. \frac{\mathop{}\!d}{\mathop{}\!dt} \int_{a(0)}^{b(0)} f(x, t) \mathop{}\!dx \right\rvert_{t=0} + f(b(0), 0) \frac{\partial b}{\partial t}(0) - f(a(0), 0) \frac{\partial a}{\partial t}(0), $$ y simplemente no puedo entender este resultado. Me confunde especialmente el hecho de que para demostrarlo, el libro de texto reescribe $H$ a $$ H(t) = F\left(b(t), t\right) - F\left(a(t), t\right) $$ fueron $F$ es la antiderivada de $f$ . Luego dice que aplica la regla de la cadena para llegar al resultado anterior. Sin embargo, a mí me parece que deberíamos obtener $$ \frac{\mathop{}\!dH}{\mathop{}\!dt} = f(b(t), t) \frac{\partial b}{\partial t} (t) - f(a(t), t) \frac{\partial a}{\partial t} (t). $$ Agradecería toda la ayuda para aclarar en qué me estoy equivocando.
Respuesta
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Utilizando Regla de Leibniz para diferenciar bajo la integral, vemos que
$$ H'(t)=f(b(t),t)b'(t)-f(a(t),t)a'(t)+\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\,dx$$
Ahora, ponte $t=0$ . ¿Puedes terminar ahora?
NOTA:
La última expresión del PO omitió el término
$$\left. \frac{\partial F(x,y)}{\partial y } \right|_{(x,y)=(a(t),t)}^{(x,y)=(b(t),t)} =\int_{a(t)}^{b(t)} \frac{\partial f(x,t)}{\partial t}\, dx$$
