Extender Herstein ' s difícil ejercicio para módulos

Question

Cualquiera que haya trabajado a través de Herstein los Temas de Álgebra podría recordar Ejercicio 26 de la Sección 2.5 (segunda edición):

Si $G$ es un grupo abelian que contiene subgrupos de orden $m$$n$, $G$ contiene un subgrupo cuyo fin es el mínimo común múltiplo de a$m$$n$.

Robert Beals ha dado una muy buena solución en [1]. Mi pregunta es si se puede o no extender el resultado de este ejercicio para los módulos (y si se puede, en qué medida). Más concretamente,

Supongamos $R$ es un anillo conmutativo. Si $M$ $R$- módulo que contiene submódulos de cardinalidad $m$ y $n$, entonces debe $M$ contiene necesariamente un submódulo cuya cardinalidad es lo de menos común múltiplo de a$m$$n$?

Desde abelian grupos pueden ser vistos como $\mathbb{Z}$-módulos, esto se generaliza la situación anterior. Ahora, supongo que esto no arbitrarias de los anillos. Yo estaría especialmente interesado en saber la conclusión de que si $R$ es Noetherian. (Creo que si $R$ es un PID, la conclusión a la que sigue, pero yo no tengo ninguna prueba de ello. Beals' prueba de los usos puramente grupo teórico de conceptos, algunos de los cuales no puedo generalizar a todos los módulos).

Gracias por tu tiempo :)

[1] Beals, Robert. "En los Pedidos de los Subgrupos en Abelian Grupos: Primaria, la Solución de un Ejercicio de Herstein." La American Mathematical Monthly, Vol. 116, Nº 10 (Dic., 2009), pp 923-926

Answer 1

Me puede faltar algo, pero no puedes mostrar esto como sigue?

Para demostrar el resultado (aditivo) abelian grupos, lo primero que se puede mostrar que un subgrupo finito es la suma directa de sus componentes primarios (que son también sus subgrupos de Sylow) y, a continuación, mostrar que la suma de $H = H_1+H_2$ de los dos subgrupos finitos de coprime el fin de $m$, $n$ tiene orden de $mn$. Mediante la combinación de estas dos técnicas, para cualquiera de los dos subgrupos finitos, podemos construir un subgrupo de orden igual al mínimo común múltiplo de sus órdenes: en primer lugar, se descomponen ambos subgrupos en los componentes primarios y, a continuación, se recombinan con los componentes principales de manera adecuada de los dos subgrupos.

Podemos hacer lo mismo con los submódulos. Una $R$-módulo de $M$ finito de orden $n$ es también un aditivo abelian grupo finito de orden $n$, y así es la suma directa de sus componentes primarios $M_p$, para los números primos $p$ dividiendo $n$ donde $M_p$ puede ser definido como:$M_p = \{m \in M \mid p^am=0 {\ \rm for\ some\ } a \ge 0 \}$. A continuación, $M_p$ $R$- submódulo, porque $m \in M_p \Rightarrow p^am=0 \Rightarrow p^arm=0$ cualquier $r \in R$, lo $rm \in M_p$.

En segundo lugar, si $M_1$ $M_2$ son finitos $R$-submódulos de coprimes órdenes $m$, $n$, entonces, como un grupo abelian, $M_1+M_2$ orden $mn$, pero $M_1+M_2$ $R$- submódulo.