¿Todo functor representable en $\text{Psh}(\mathcal{C}\times{\mathcal{\Delta}})$ tienen una equivalencia débil con $h_{(c,0)}$ ?

Question

Dejemos que $\text{sPsh}(\mathcal{C})$ sea la categoría de preseaves simpliciales, que quiero ver como $$\text{sPsh}(\mathcal{C})=[\mathcal{C}^{\text{op}}\times\Delta^{\text{op}},\text{Set}]=\text{Psh}( \mathcal{C}\times \Delta).$$

Dejemos que $y:\mathcal{C}\to \text{Psh}(\mathcal{C})$ sea la incrustación de Yoneda, y sea $d:\text{Psh}(\mathcal{C})\to \text{sPsh}(\mathcal{C})$ sea el functor que toma una preforma $P$ a la preseaf constante simplicial que tiene $P$ en todas las dimensiones $dP=(n \mapsto P[n]=P)$ . Componiendo estos dos, obtenemos una incrustación $$r:\mathcal{C}\to \text{Psh}(\mathcal{C}) \to \text{sPsh}(\mathcal{C})$$ que también podemos ver como la composición $$r:\mathcal{C}\to \mathcal{C}\times{\Delta}\to \text{Psh}(\mathcal{C}\times{\Delta})$$ $$c\mapsto(c,0)\mapsto( \ (a,n)\mapsto\text{Hom}_{\mathcal{C}\times{\Delta}}((a,n),(c,0))\cong \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c) \ ).$$ En otras palabras, tomamos $c$ a $(c,0)$ y luego al functor representable $y(c,0)=h_{(c,0)},$ que, desde $0$ es terminal en $\Delta,$ corresponde sólo a la preseaf simplicial costante $n\mapsto h_c.$

Así que tenemos una subcategoría completa $$\{h_{(c,0)}: c\in \mathcal{C}\} \subset \text{sPsh}(\mathcal{C}).$$ Ahora un presheaf genérico representable en $\text{sPsh}(\mathcal{C})$ será de la forma $$h_{(c,n)}:(a,m)\mapsto \text{Hom}((a,m),(c,n)).$$

Me gustaría demostrar (no sé si es cierto) que para cada $(c,n)\in \mathcal{C}\times{\Delta},$ tenemos una equivalencia débil en la estructura del modelo de Bousfield-Kan $$h_{(c,n)}\xrightarrow{\sim}h_{(c,0)}.$$

Estaba pensando en demostrar que la transformación natural $\eta:h_{(c,n)} \Rightarrow h_{(c,0)}$ que se da en cada $(a,m)\in \mathcal{C}^{\text{op}}\times{\Delta^{\text{op}}}$ por la proyección $$\text{Hom}_{\mathcal{C}\times{\Delta}}((a,m),(c,n))=\text{Hom}_{\Delta}(m,n) \times{\text{Hom}_{\mathcal{C}}}(a,c)\to \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c)$$ es una equivalencia débil.

Esto, en la estructura del modelo B-K, significaría que para cada $a \in \mathcal{C}$ la proyección es una equivalencia débil del conjunto simplicial $m\mapsto \text{Hom}_{\Delta}(m,n) \times{\text{Hom}_{\mathcal{C}}}(a,c)$ al conjunto simplicial constante $m\mapsto \text{Hom}_{\mathcal{C}}(a,c).$

Esto, a su vez, significaría que la realización geométrica de éstos es una equivalencia débil de homotopía de espacios débilmente generados de Hausdorff.

Sin embargo, no tengo ni idea de cómo demostrarlo. Sé que la realización geométrica conserva los productos, pero no me lleva muy lejos.

Answer 1

Desde $\def\Hom{\operatorname{Hom}}\Hom_{\mathcal C}(a,c)$ es sólo un conjunto, el producto es también una unión disjunta $$\Hom_\Delta(-,[n])\times\Hom_{\mathcal C}(a,c) = \coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}\Hom_\Delta(-,[n])$$ y de este modo, la proyección sobre $\Hom_{\mathcal C}(a,c)$ es el coproducto de muchas copias del mapa simplicial $\Hom_\Delta(-,[n])\to*$ es decir, la proyección es un coproducto de varias copias de $\Delta[n]\to*$ .

Los mapas $\Delta[n]\to*$ son equivalencias débiles ya que el simplex estándar $\Delta[n]$ es contraíble, y todos los objetos de $\mathbf{sSet}$ son cofibrantes, por lo que el coproducto de equivalencias débiles es de nuevo una equivalencia débil por el lema de Ken Brown (los coproductos preservan las cofibraciones triviales de los objetos cofibrantes y, por tanto, preservan las equivalencias débiles de los objetos cofibrantes).

Por lo tanto, obtenemos que el mapa $$ \Hom_\Delta(-,[n])\times\Hom_{\mathcal C}(a,c)=\coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}\Delta[n]\to\coprod_{\Hom_{\mathcal C}(a,c)}*=\Hom_{\mathcal C}(a,c) $$ es una equivalencia débil para cada $a\in\mathcal C$ lo que nos permite concluir que $h_{(c,n)}\simeq h_{(c,0)}$ en $\operatorname{sPSh}\mathcal C$ .