Dejemos que $T : R^7 \to R^7$ sea una transformación lineal tal que $T^2 = 0$

Question

Dejemos que $T : R^7 \to R^7$ sea una transformación lineal tal que $T^2 = 0$ entonces qué podemos decir sobre el rango de $T$ ?

No puedo concluir desde aquí. Se necesita ayuda.

Answer 1

Si $T^2 = 0$ entonces $\text {im}(T) \subseteq \text{ker}(T)$ por lo que, en particular, el rango de $T$ no es más que la nulidad de $T$ . Como la suma del rango y la nulidad es 7, concluimos que el rango de $T$ es de 3 o menos.

Este es un ejemplo de la matriz de una transformación de rango 3 $T$ con la propiedad de que $T^2=0$ :

$$ \left[\begin{array}{ccccccc} 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array} \right] $$

Esta matriz es diagonal de bloques con tres bloques diagonales de 2x2 $N$ para lo cual $N^2=0$ .

Answer 2

Desde $T(\mathbb{R}^7)\subset \text{ker}(T)$ concluimos que $$\text{rank}(T)\le \dim\text{ker}(T)=7-\text{rank}(T)$$ Por lo tanto, $\text{rank}(T)\le 3$ .