Dejemos que $G$ sea un grupo de orden $12.$ Demostrar que $G$ tiene una normalidad $ 3$ -subgrupo de silos o $ G$ es isomorfo a $A_4$ .
Sé que $|G|=12=2^23$ y que, o bien $n_3=1$ y hay un $3$ -subgrupo bajo, o bien $n_3=4$ . Si $n_3=4$ entonces hay $4$ $3$ -subgrupos bajos cuya intersección es $\{e\}.$ Eso significa que hay $8$ elementos de orden $3,$ saliendo de $4$ elemento de orden que no es $3$ . Hay un $2$ -subgrupo bajo de orden $4.$ Sus elementos son de orden divisorio $4.$ Este subgrupo es normal. Ahí está la identidad, $8$ elementos de orden $3$ y $3$ de orden $2$ o $4.$ Así que hay un elemento de orden $6$ Supongo que sí. Pero no sé cómo continuar y mostrar el isomorfismo. ¿Alguna ayuda?
