He leído que el conjunto de enteros que se pueden escribir de la forma $$n = a^2 + b^4 + c^6$$ es de densidad cero, ya que la suma de los inversos de los exponentes $1/2+1/4+1/6$ es menor que $1$ . No entiendo el argumento, ¿hay una forma probabilística/densidad de ver/escribir esto?
Respuesta
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No sé mucho sobre la teoría que hay detrás de esto, pero a mí me parece que es un simple recuento.
El número de casillas menores o iguales a $n$ es $O(n^{1/2})$ . (De hecho, se calcula fácilmente como $\lfloor\sqrt{n}\rfloor$ .) Del mismo modo, el número de cuartas potencias en el mismo intervalo es $O(n^{1/4})$ y el número de sextas potencias en el mismo intervalo son $O(n^{1/6})$ . Ahora, haz todas las sumas de cualquier cuadrado, cualquier cuarta potencia y cualquier sexta potencia de ese conjunto. El número de esas sumas es como máximo $O(n^{1/2})O(n^{1/4})O(n^{1/6})=O(n^{1/2+1/4+1/6})$ (¡puede haber repeticiones!) y, por tanto, el número de esas sumas menor que igual que $n$ (que está limitado desde arriba por el número anterior, y puede ser incluso menor si algunas de las sumas terminan siendo mayores que $n$ ) también es $O(n^{1/2+1/4+1/6})=o(n^1)=o(n)$ porque $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}<1$ .
Como la densidad se define como el límite de la fracción de $\{1,2,\ldots, n\}$ perteneciente al conjunto, cuando $n\to\infty$ tenemos que la densidad aquí es $\lim_{n\to\infty}\frac{o(n)}{n}=0$ .
