Examinar la convergencia de las secuencias y determinar la función límite

Question

Estoy autoestudiando topología y estoy intentando hacer este ejercicio sobre Espacios Vectoriales que me cuesta mucho resolver.

Dejemos que $\mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ sea el espacio vectorial de las funciones continuas de valor real en el intervalo [0,1]. Para una función continua $f : [0, 1] \to \mathbb{R}$ definimos $$ ||f||_1 = \int^{1}_{0}|f(x)| dx.$$ Ahora considere en $\mathcal{C}([0, 1], \mathbb{R})$ las secuencias $(f_n)$ y $(g_n)$ definido por:

$$ f_n(x) = \begin{cases} 1 - nx, & \text{for } 0\leq x \leq 1/n\\ 0, & \text{for } 1/n \leq x \leq 1 \end{cases} \\ g_n(x) = \begin{cases} n-n^2x, & \text{for } 0\leq x \leq 1/n\\ 0, & \text{for } 1/n \leq x \leq 1 \end{cases} $$

Ahora debo examinar la convergencia de cada una de las secuencias y determinar la función límite si es convergente.

En este libro con el que estoy trabajando, no encuentro ningún teorema que pueda ayudarme en esto, así que espero que alguno de vosotros pueda ayudar o simplemente referirse a algún teorema.

Answer 1

$(f_n)$ converge a $f=0$

Usted tiene $$\Vert f_n - f\Vert_1 =\int_0^1 \vert f_n(x)\vert \ dx= \int_0^{1/n} (1-nx) \ dx =\left[x -\frac{nx^2}{2}\right]_0^{1/n}=\frac{1}{2n}$$ Como $\lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{2n}=0$ , obtenemos nuestra conclusión $f_n \to 0$ .

$(g_n)$ no converge para el $\Vert \cdot \Vert_1$ norma

Supongamos que $(g_n)$ converge a $g$ para el $\Vert \cdot \Vert_1$ norma. Demostremos que esto implica $g=0$ . Para todos los $n \in \mathbb N$ tenemos

$$\begin{aligned} \Vert g_n-g\Vert_1 &= \int_0^1 \vert g_n(x)-g(x)\vert \ dx\\ &=\int_0^{1/n} \vert g_n(x)-g(x)\vert \ dx + \int_{1/n}^1 \vert g_n(x)-g(x)\vert \ dx\\ &=\int_0^{1/n} \vert g_n(x)-g(x)\vert \ dx + \int_{1/n}^1 \vert g(x)\vert \ dx\\ &\ge \int_{1/n}^1 \vert g(x)\vert \ dx \end{aligned}$$

Moviendo $n \to \infty$ obtenemos $0 \ge \int_0^1 \vert g(x) \vert \ dx$ . Como $g$ se supone que es una función continua, obtenemos $g=0$ . Pero esto en contradicción con $\Vert g_n \Vert =1/2$ para todos $n \in \mathbb N$ .