Oprimido principal al menos una vez en una serie infinita de juegos

Question

Estamos observando un torneo en el que 2 jugadores de jugar una serie de juegos. Exactamente un jugador gana cada juego. Por lo que podemos contar y 5:3 podría ser el pie después de 8 juegos.

El primer jugador es el favorito y gana un juego con una probabilidad de $p > 1 - p$.

¿Cuál es la probabilidad de que el retorno va a llevar el pie al menos una vez en algún punto en una serie infinita de juegos? O quizás más importante que el valor específico: Es $1$ o no?

De alguna manera, yo creo que debe ser $1$, independiente de $p$, pero no estoy seguro de lo mucho que mi intuición es que vale la pena aquí. Tal vez puedo tomar para el caso infinito con una pista acerca de la serie finita de $k$ juegos.

Answer 1

En orden para el jugador más débil para ir por delante en el $(2k+1)$-st juego, la puntuación debe ser atado después de $2k$ los juegos, y el jugador más débil no debe haber estado por delante. Cada cadena de $2k$ resultados en los que el jugador más débil, nunca lleva y el resultado final es atado corresponde a un Dyck palabra de longitud $2k$, y $C_k$ tales palabras, donde $C_k$ $k$- th catalán número. La probabilidad de cualquier cadena de resultados es $p^k(1-p)^k$, por lo que la probabilidad de que el jugador más débil la primera vez que va por delante en el $(2k+1)$-st juego es $C_kp^k(1-p)^{k+1}$, y la probabilidad de que el jugador más débil conduce en algún punto es

$$\sum_{k\ge 0}C_kp^k(1-p)^{k+1}=(1-p)\sum_{k\ge 0}C_k\big(p(1-p)\big)^k\;.$$

El catalán de números de la generación de la función

$$c(x)=\sum_{k\ge 0}C_kx^k=\frac{1-\sqrt{1-4x}}{2x}\;,$$

así que la probabilidad deseada es

$$\begin{align*} (1-p)c\big(p(1-p)\big)&=\frac{(1-p)\left(1-\sqrt{1-4p(1-p)}\right)}{2p(1-p)}\\ &=\frac{1-\sqrt{1-4p+4p^2}}{2p}\\ &=\frac{1-(2p-1)}{2p}\\ &=\frac{1-p}{p}\;. \end{align*}$$

(Este cálculo asume que la $p<1$, pero el resultado sostiene claramente por $p=1$).

Answer 2

Una variante del teorema de Bertrand de la boleta dice que en una elección donde recibe el candidato A $a$ votos y el candidato B recibe votos $b$ $a \gt b$, la probabilidad que A va ser igual a o a B a través de la cuenta es $\dfrac{a+1-b}{a+1}$, por lo que la probabilidad de que b es siempre estrictamente adelante es $\dfrac{b}{a+1}$.

La ley de grandes números implica que aquí $\dfrac{a}{a+b} \to p$ y $\dfrac{b}{a+1} \to \dfrac{1-p}{p}$.

Answer 3

Sea $Y_n$ diferencia de puntuaciones en tiempo $n$ - primero menos el segundo ($Y_0=0$). Que $$m_k=P(\min_{i\geq 0}{Y_i}=-k)$$ for $k\geq0$. Then $$m_k=pm_{k+1}+(1-p)m_{k-1}$$ resolver sujetas a restricción $\sum_{k\geq 0}m_k=1$ (desde $Y_n\to\infty$ con probabilidad $1$) yeilds $$m_k=(1-\alpha)\alpha^k$$ where $\alpha=\frac {1-p} p < 1$. We are interested in $% $$P(\min_{i\geq 0}{Y_i}\leq-1)=\sum_{k\geq 1}m_k=\alpha=\frac{1-p}p$