¿Cómo puedo demostrar que $n^7 - n$ es divisible por $42$ para cualquier número entero $n$ ?

Question

Puedo ver que esto funciona para cualquier número entero $n$ pero no puedo entender por qué esto funciona, o por qué el número $42$ tiene esta propiedad.

Answer 1

Sólo para completar, aquí está la inducción (sólo para la divisibilidad por 7) :

Reclamación : $n^7 - n$ es divisible por 7

Caso base: Verdadero para n = 1,2

Paso de inducción: Asumir que es cierto para n = k. Demostrar que es cierto para n = k + 1.

Ahora, $$(k+1)^7 - (k+1) = k^7 + 7k^6 + 21k^5 + 35k^4 + 35k^3 + 21k^2 + 7k + 1 - k - 1 \\= (k^7 - k) + 7(k^6 + 3k^5 + 5k^4 + 5k^3 + 3k^2 + k)$$ Sabemos por nuestra suposición que $k^7 - k$ es divisible por 7. Por lo tanto, $(k + 1)^7 - (k + 1)$ es divisible por 7.

Esto demuestra que $n^7 - n$ es divisible por 7.

Para demostrar la divisibilidad por 2 y 3, por desgracia, hay que recurrir a algunos de los trucos anteriores. $$n^7 - n = n(n^6 - 1) = (n-1)n(n+1)(n^2 - n + 1)(n^2 + n + 1)$$ $(n-1)n(n+1)$ es un producto de tres enteros consecutivos. El producto de dos enteros consecutivos es divisible por 2 y el producto de tres enteros consecutivos es divisible por 3. Ya que, $(2,3) = 1$ el producto de tres enteros consecutivos es divisible por 6. Como $(6,7) = 1$ , $n^7 - n$ es divisible por 42.

QED

Answer 2

F $\ell$ T $^*$ (si $p\not\vert n$ entonces $p\vert n^{p-1}-1$ ) $\Rightarrow$

si $2\not\vert n$ entonces $2\not\vert n^6$ y luego $2\vert (n^6)^1-1$

si $3\not\vert n$ entonces $3\not\vert n^3$ y luego $3\vert (n^3)^2-1=n^6-1$

si $7\not\vert n$ entonces $7\vert n^6-1$

así que $2,3,7\vert n^7-n$ .

$^*$ : $\ell$ =poco.

Answer 3

Para dar un enfoque diferente, tenemos

$$\begin{align} n^7-n&=n(n^6-1)\\ &=n(n^3-1)(n^3+1)\\ &=n(n-1)(n^2+n+1)(n+1)(n^2-n+1)\\ &=n(n-1)(n+1)(n^2+n-6+7)(n^2-n-6+7)\\ &=n(n-1)(n+1)\Big((n-2)(n+3)(n+2)(n-3)+7\cdot\text{quadratic in }n\Big) \end{align}$$

donde la cuadrática en $n$ para ser explícito, es $2(n^2-6)+7$ . Lo importante, sin embargo, es que $n(n-1)$ siendo el producto de dos enteros consecutivos, es siempre divisible por $2$ , $n(n-1)(n+1)$ siendo el producto de tres enteros consecutivos, es siempre divisible por $3$ y $n(n-1)(n+1)(n-2)(n+3)(n+2)(n-3)$ siendo el producto de siete números consecutivos, es siempre divisible por $7$ .