Identificación de una función a partir de su representación en serie de potencias

Question

¿Qué funciones están representadas por las siguientes series de potencias? $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}kz^k \quad \quad \quad \sum\limits_{k=1}^{\infty}k^2z^k$$

¿Implica esto el uso de una expansión de Taylor? No se me ocurre ninguna función general que siga una representación similar (es decir $e^x$ implica factoriales).

Me pregunto si debo considerar una diferenciación de un general $\sum\limits_{k=1}^{\infty}z^k$ ¿ya que las dos funciones parecen seguir ese formato? Sin embargo los índices no coinciden, ya que una diferenciación del término general anterior sería $\sum\limits_{k=1}^{\infty}kz^{k-1}$ .

Answer 1

Dejemos que $f(z)=\frac1{1-z}=\sum_{k=0}^\infty z^k$ entonces $$\sum_{n=1}^\infty kz^k=z\sum_{n=1}^\infty kz^{k-1}=zf'(z).$$

$$f''(z)=\sum_{k=2}^\infty k(k-1)z^{k-2}=\sum_{k=2}^\infty k^2z^{k-2}-\sum_{k=2}^\infty kz^{k-2}.$$

Así que, $$\sum_{k=2}^\infty k^2z^{k-2}=f''(z)+\frac{f'(z)}{z},$$ y $$\sum_{k=2}^\infty k^2z^k=z^2f''(z)+zf'(z).$$

Answer 2

En el mismo espíritu de la respuesta de Tim Raczkowski, consideremos el caso de $$S_p=\sum_{n=0}^\infty k^p z^k$$ y ahora escribe $$k^p=Ak(k-1)(k-2)\cdots (k-p)+Bk(k-1)(k-2)\cdots (k-p+1)+$$ $$Ck(k-1)(k-2)\cdots (k-p+2)+Dk(k-1)(k-2)\cdots (k-p+3)+\cdots$$ e identificar los coeficientes $A,B,C,D,\cdots$ .

Por ejemplo $p=5$ dará $A=1$ , $B=10$ , $C=25$ , $D=15$ , $E=1$ y así $$S_5=z^5\sum_{n=0}^\infty k(k-1)(k-2)(k-3)(k-4) z^{k-5}+$$ $$10 z^4\sum_{n=0}^\infty k(k-1)(k-2)(k-3) z^{k-4}+$$ $$25 z^3\sum_{n=0}^\infty k(k-1)(k-2) z^{k-3}+$$ $$15 z^2\sum_{n=0}^\infty k(k-1) z^{k-2}+$$ $$ z\sum_{n=0}^\infty k z^{k-1}$$ en el que se reconocen fácilmente las sucesivas derivadas de $\sum_{n=0}^\infty z^{k}=\frac{1}{1-z}$ .

Estoy seguro de que puede tomar de aquí.