Ejemplos de distancias no simétricas

Question

Es bien sabido que la propiedad simétrica es $d(x,y)=d(y,x)$ no es necesario en la definición de la distancia si la desigualdad del triángulo se establece cuidadosamente. Por otro lado, hay ejemplos de funciones que satisfacen

(1) $d(x,y)\geq 0$ y $d(x,y)=0$ si y sólo si $x=y$

(2) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

que no son simétricos: en el espacio de tres puntos $(a,b,c)$ toman los valores no nulos de $d$ como $1=d(a,b)=d(c,b)$ , $2=d(b,a)=d(b,c)=d(a,c)=d(c,a)$ .

¿Conoces otros ejemplos de "distancias no simétricas"? ¿Hay ejemplos en los números reales, etc.? ¿Hay ejemplos de espacios en los que toda función que satisfaga (1) y (2) sea simétrica?

Answer 1

¿Y la siguiente función de distancia en los reales?

$$\begin{array}{rcl} d(x,y) & = 1, & \mbox{if} \;\; x<y \\ & = 2, & \mbox{if} \;\; x>y \\ & = 0, & \mbox{if} \;\; x=y \end{array}$$

Un poco artificial, pero parece que cumple los requisitos, a no ser que haya pasado algo por alto.

Answer 2

Esto puede ser o no lo que buscas, pero me pareció divertida la idea, así que la comparto:

Esta será una métrica no simétrica en $\mathbb{Z}^+$ :

Supongamos que sólo se puede mover a la izquierda una unidad y, además, se puede saltar a la derecha de una potencia de dos a la siguiente. Es decir, para encontrar una secuencia de pasos para llegar de 5 a 11, uno debe viajar como sigue:

$$ 5 \to 4 \to8 \to16 \to15 \to 14 \to13 \to12\to11. $$

Para un número entero (positivo) $n$ , defina $T(n)$ para ser la mayor potencia de $2$ que es menor o igual que n. Del mismo modo, defina $S(n)$ para ser la menor potencia de $2$ mayor o igual que $n$ . Entonces, si $|\cdot|$ denota el valor absoluto habitual, tenemos:

$$ d(x,y) = \left\{ \begin{array}{lcc} |x - y| & & x \geq y \\ |x - T(x)| + \log_2(S(y)/T(x)) + |S(y) - y| & & x < y \end{array} \right. $$

Si $x \leq y$ Uno sólo se mueve a la izquierda $|y - x|$ unidades. Si no, se pasa de $x$ a la mayor potencia de $x$ menor o igual a $x$ . Se salta entonces $\log_2(S(y)) - \log_2(T(x))$ poderes de $2$ y, por último, mueve el resto de $|S(y) - y|$ unidades. No es difícil demostrar que esta métrica (It clear satisface la condición (i), y para demostrar que satisface (ii), basta con considerar el caso de $d(x,y)$ cuando $x > y$ ).

Esta métrica me vino a la mente en lugar de la Prueba de Cauchy de la desigualdad de la media aritmética-geométrica ( http://en.wikipedia.org/wiki/Inequality_of_arithmetic_and_geometric_means#Proof_by_Cauchy ).

Dejemos que $P(n)$ denota la afirmación de que la desigualdad media AG es verdadera para $n$ números. La idea de Cauchy fue demostrar la desigualdad induciendo primero a lo largo de potencias de dos (es decir, P( $2^k$ ) es verdadera implica que P( $2^{k+1}$ ) es cierto. Entonces, demostró que $P(n)$ es cierto implica $P(n-1)$ es cierto.

Suponiendo que sabemos que la desigualdad media aritmética-geométrica es verdadera para algún paso $n$ , $d(n,m)$ es el número de pasos necesarios utilizando la prueba de Cauchy para demostrar $P(m)$ es verdadera, asumiendo que sabemos $P(n)$ es cierto.

Answer 3

La divergencia de Kullback-Leibler también es otro ejemplo. Se define entre dos distribuciones de probabilidad $p(x)$ & $q(x)$ tiene la forma, $$ D_{KL}(p||q) = \int p(x)\log\left(\frac{p(x)}{q(x)}\right)dx$$ Se puede ver fácilmente que $D_{KL}(p||q)\neq D_{KL}(q||p)$$ .

Answer 4

$d(x,y)=\begin{cases}x-y, \mbox{ if } x\geq y\\1, \mbox{ otherwise }\end{cases}$ ¡lo hará!