Ejemplos de distancias no simétricas

Question

Es bien sabido que la propiedad simétrica es $d(x,y)=d(y,x)$ no es necesario en la definición de la distancia si la desigualdad del triángulo se establece cuidadosamente. Por otro lado, hay ejemplos de funciones que satisfacen

(1) $d(x,y)\geq 0$ y $d(x,y)=0$ si y sólo si $x=y$

(2) $d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y)$

que no son simétricos: en el espacio de tres puntos $(a,b,c)$ toman los valores no nulos de $d$ como $1=d(a,b)=d(c,b)$ , $2=d(b,a)=d(b,c)=d(a,c)=d(c,a)$ .

¿Conoces otros ejemplos de "distancias no simétricas"? ¿Hay ejemplos en los números reales, etc.? ¿Hay ejemplos de espacios en los que toda función que satisfaga (1) y (2) sea simétrica?

Answer 1

Un ejemplo clásico es el círculo $S^1$ con la métrica la longitud del camino más corto en el sentido de las agujas del reloj entre $x$ y $y$ pero permítanme decir algunas cosas en general.

Lawvere una vez se señaló que ésta es realmente una definición mucho más natural de un espacio métrico, ya que permite interpretarlos como un tipo de categoría enriquecida. La desigualdad del triángulo se convierte entonces en una consecuencia de la composición de morfismos, lo cual es extremadamente razonable si se piensa en las distancias en un espacio métrico como la medida de "la mejor manera de llegar desde $a$ a $b$ ": claramente la mejor manera de llegar desde $a$ a $b$ a $c$ es a lo sumo tan buena como la mejor manera de llegar desde $a$ a $c$ y esto es precisamente la desigualdad triangular (asimétrica).

Por otra parte, no hay ninguna razón en general para que la mejor manera de llegar de $a$ a $b$ tiene que parecerse en algo a la mejor manera de llegar desde $b$ a $a$ . Este es el sentido en el que el requisito de simetría es antinatural. Tampoco hay ninguna razón en general para que sea posible obtener de $a$ a $b$ ¡en absoluto! Este es el sentido en el que el requisito de que las distancias sean finitas es antinatural. Por último, no hay ninguna razón en general para que no sea posible llegar instantáneamente de $a$ a $b$ (en otras palabras, que $a$ y $b$ sean isomorfas); este es el sentido en el que el requisito de que las distancias sean positivas-definidas no es natural.

A continuación se explica cómo utilizar esa idea para generar una gran clase de ejemplos. Dejemos que $(M, d)$ sea un espacio métrico y que $h : M \to \mathbb{R}$ sea una función. Definir una nueva métrica $$d'(x, y) = \begin{cases} d(x, y) + h(y) - h(x) \text{ if } h(y) \ge h(x) \\\ d(x, y) \text{ otherwise} \end{cases}.$$

Intuitivamente, $h$ es un potencial (por ejemplo, una altura si se piensa en el potencial gravitatorio), y la nueva métrica $d'$ te penaliza por ir en contra del potencial (por ejemplo, ir cuesta arriba).

El ejemplo del grafo dirigido dado por mjqxxxx es también una buena ilustración de esta filosofía sobre los espacios métricos.

Answer 2

La mayoría de las distancias en la vida real van a ser más o menos asimétricas debido a las carreteras de un solo sentido, a las subidas y bajadas, a los diferentes horarios del transporte público, a los atascos, etc.

Answer 3

El Distancia de Hausdorff es una versión simétrica de una distancia natural no simétrica.

Answer 4

Para cualquier grafo dirigido $G=(V,E)$ podemos definir una distancia no simétrica como sigue: para $x,y\in V$ El distancia del grafo dirigido es la longitud del camino dirigido más corto desde $x$ a $y$ o $\infty$ si no existe tal camino. Esto satisface claramente la desigualdad del triángulo, como se ha dicho anteriormente. Una familia de ejemplos aún más general se genera permitiendo un peso positivo, en cuyo caso podemos tomar la distancia como el menor peso de cualquier camino dirigido desde $x$ a $y$ (o, si $G$ es infinito, el mayor límite inferior de todos esos pesos; en este caso debemos exigir además que todos los pesos de las aristas estén acotados lejos de cero).

Answer 5

He venido aquí buscando otra cosa y me ha sorprendido que nadie haya mencionado las distancias inducidas por los cuerpos convexos (se llaman clásicamente distancias de Minkowski, y "funciones de distancia convexa" en la literatura de Geometría Computacional).

Dejemos que $K$ sea un cuerpo convexo arbitrario (= conjunto convexo compacto con interior no vacío) en $\mathbb R^d$ con el origen en su interior. Se puede definir el $K$ -norma $||v||_K$ de un vector $v$ para ser el único positivo $\lambda\in [0,\infty)$ con $\lambda v \in \partial K$ y el $K$ -distancia entre $a$ y $b$ para ser $||b-a||_K$ .

Si $K$ es centralmente simétrica entonces son una norma y una distancia en el sentido habitual (la distancia euclidiana y todas las $L_p$ distancias son ejemplos).

Si $K$ no es centralmente simétrica entonces esta distancia no es simétrica ( $||-v||\ne -||v||$ ), pero sigue satisfaciendo la desigualdad del triángulo asimétrico.