Conexión tras un reajuste métrico y compatibilidad

Question

Se sabe (ver aquí por ejemplo) que tras un reescalado de la métrica $\tilde{g}=e^{2\omega}g$ podemos encontrar una nueva conexión $\tilde\nabla$ asociado a la nueva métrica:

$ \tilde\nabla _X Y = \nabla _X Y + (X \omega )Y + (Y \omega )X - g(X,Y) \operatorname{grad}\omega \tag{1}, $

donde $\nabla$ es la conexión Levi-Civita de $(M,g)$ . En coordenadas:

$ \tilde\Gamma^{k}_{ij}=\Gamma^{k}_{ij} + \delta_{i}^{k} \partial_j \omega + \delta_{j}^{k} \partial_i \omega - g_{i j} g^{k l} \partial_{l} \omega. \tag{2} $

Mi pregunta es: ¿la nueva conexión $\tilde\nabla$ compatible con la nueva métrica $\tilde g$ ? Estoy utilizando la ecuación (1) junto con la propiedad

$ X[\tilde g(Y,Z)] = (\tilde\nabla_X\tilde g)(Y,Z)+\tilde g(\tilde\nabla_XY,Z)+\tilde g(Y,\tilde\nabla_XZ)\tag{3}, $

pero no estoy recibiendo $\tilde\nabla\tilde g = 0$ . En cambio, $\tilde\nabla\tilde g$ es proporcional a la nueva métrica. ¿Es esto correcto?

Answer 1

La conexión $\tilde{\nabla}$ debe ser la conexión Levi-Civita asociada a la métrica $\tilde{g}$ por lo que debería ser compatible con $\tilde{g}$ . Y efectivamente,

$$ \tilde{g}(\tilde{\nabla}_X Y, Z) = e^{2\omega} g(\nabla_X Y + (X\omega)Y +(Y\omega)X - g(X,Y) \operatorname{grad} \omega, Z) = \\ e^{2\omega} \left( g(\nabla_X Y, Z) + (X\omega)g(Y,Z) + (Y\omega) g(X,Z) - g(X,Y) g(\operatorname{grad} \omega, Z) \right) = \\ e^{2\omega} \left( g(\nabla_X Y, Z) + d\omega(X)g(Y,Z) + d\omega(Y) g(X,Z) - d\omega(Z) g(X,Y) \right). $$

De la misma manera,

$$ \tilde{g}(Y, \tilde{\nabla}_X Z) = e^{2\omega} \left( g(\nabla_X Z, Y) + d\omega(X) g(Y,Z) + d\omega(Z) g(X,Y) - d\omega(Y) g(X,Z) \right).$$

Finalmente,

$$ (\tilde{\nabla}_X \tilde{g})(Y,Z) = X\tilde{g}(Y,Z) - \tilde{g}(\tilde{\nabla}_XY, Z) - \tilde{g}(Y,\tilde{\nabla}_X Z) = \\ 2e^{2\omega} d\omega(X)g(Y,Z) + e^{2\omega} \left( Xg(Y,Z) - (\left( g(\nabla_X Y, Z) + d\omega(X)g(Y,Z) + d\omega(Y) g(X,Z) - d\omega(Z) g(X,Y) \right) - \left( g(\nabla_X Z, Y) + d\omega(X) g(Y,Z) + d\omega(Z) g(X,Y) - d\omega(Y) g(X,Z) \right) \right) = \\ e^{2\omega} \left( (\nabla_X g)(Y,Z) + 2d\omega(X)g(Y,Z) + d\omega(Z)g(X,Y) + d\omega(Y)g(X,Z) - d\omega(X)g(Y,Z) - d\omega(Y)g(X,Z) - d\omega(X)g(Y,Z) -d\omega(Z)g(X,Y) \right) = e^{2\omega} (\nabla_X g)(Y,Z) = 0. $$