¿Hay/por qué no hay grupos sencillos con pedidos como éste?

Question

Los órdenes de los grupos simples (ignorando los grupos matriciales para los que se resuelve el problema) parecen todos muy parecidos:

2^46 3^20 5^9 7^6 11^2 13^3 17 19 23 29 31 41 47 59 71 

comienza con una potencia muy alta de 2, luego las potencias disminuyen y se obtiene una cola - es algo así como un decaimiento exponencial.

¿Por qué ocurre esto? Quiero entender mejor este fenómeno.

Quería encontrar contraejemplos, por ejemplo, un simple grupo de orden algo así como

2^4 3^2 11^5 13^9

pero parece que no existen (¡a no ser que se me haya escapado!).

Tenemos el siguiente límite $|G| \le \left(\frac{|G|}{p^k}\right)!$ que permite $3^2 11^4$ pero descarta órdenes como $3^2 11^5$ , $3^2 11^6$ aunque esto da un límite finito es extremadamente débil cuando tienes más de dos primos, realmente no explica el patrón pero un límite mucho más fuerte del mismo tipo podría?

También consideré que podría estar relacionado con la transitividad múltiple, un grupo $t$ -transitivo tiene que tener un orden múltiplo de $t!$ y, por ejemplo, 20! =

2^18 3^8 5^4 7^2 11 13 17 19

que tiene exactamente el mismo patrón, por razones que entendemos. Pero, ¿son estos grupos realmente transitivos para explicar el patrón?

Answer 1

Pongo el siguiente contraejemplo a la pregunta, tal y como pide cavernícola en los comentarios.

El grupo Steinberg ${}^2A_5(79^2)$ tiene orden $$ 2^{23}\cdot 3^4\cdot 5^6\cdot 7^2\cdot 11^1\cdot 13^3\cdot 43^1\cdot 79^{15}\cdot 641^1\cdot 1091^1\cdot 3121^1\cdot 6163^2.$$

También hay otros contraejemplos. Por ejemplo ${}^2A_9(47^2)$ tiene orden $$ 2^{43}\cdot 3^{13}\cdot 5^2\cdot 7^3\cdot 11^1\cdot 13^2\cdot 17^2\cdot 23^5\cdot 31^1\cdot 37^1\cdot 47^{45}\cdot 61^1\cdot 97^1\cdot 103^3\cdot 3691^1\cdot 5881^1\cdot 14621^1\cdot 25153^1\cdot 973459^1\cdot 1794703^1\cdot 4778021^2.$$

Supongo que hay infinitos contraejemplos, pero los números (por supuesto) se hacen muy muy grandes.

Answer 2

Emil Artin demostró en sus trabajos de 1955 $^1{}^2$ que los grupos de tipo Lie de característica $p$ tienen un gran Sylow $p$ -subgrupo. Esto explica por qué las familias $^2D_n,^2E_6,F_4,^2G_2$ y $E_n$ ( $n=6,7,8$ ) tienen un "pico" exactamente en su característica, y por qué el $2$ -poder en los órdenes de otros grupos de Lie Tipo de característica $2$ es mucho mayor. No explica el patrón exponencial subyacente.

Las órdenes de los grupos alternos son fáciles de explicar, así que quedan las esporádicas. De estos, todo se ajusta a sus observaciones, excepto el grupo O'Nan, que tiene un pequeño bache en $7$ (el orden es $2^9 \cdot 3^4 \cdot 5 \cdot 7^3 \cdot 11 \cdot 19 \cdot 31$ ) y lo mismo para $J_{11}$ (el orden es $2^{21} \cdot 3^3 \cdot 5 \cdot 7 \cdot 11^3 \cdot 23 \cdot 29 \cdot 31 \cdot 37 \cdot 43$ ). Sin embargo, estos no violan sus predicciones por mucho, así que sospecho que el extra $7$ y $11$ son sólo una coincidencia de la teoría de los números.

Observamos que en los subgrupos Sylow de otros grupos de tipo Lie, la característica es $2$ por lo que su orden tiene un pico en el $2$ -poder. Tiene sentido que los órdenes de estos grupos parezcan una decadencia exponencial especialmente aguda. Varios de los grupos esporádicos (esporádicos de tipo característico $2$ para lo cual $F^\star(Y)$ es un $2$ -grupo para cada $2$ -subgrupo local $Y$ ) se han descrito $^3$ a mí como esporádicos "tratando de tener característica $2$ ." En particular, tienen grandes Sylow $2$ -subgrupos al igual que los grupos de característica Lie $2$ , por lo que también tienen un pico en $2$ . El resto de los grupos esporádicos, no tengo una explicación intuitiva.

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1. Emil Artin. "Los órdenes de los grupos simples clásicos". Communications in Pure and Applied Mathematics 8 (1955), 455-472.

2. Emil Artin. "Las órdenes de los grupos lineales". Communications in Pure and Applied Mathematics 8 (1955). 355-365.

3. Gracias a G. Glauberman por esta frase y su conversación sobre este tema.