Mosquito en la habitación (Puzzle)

Question

Reflexionando sobre un mosquito muy real en mi habitación se me ocurrió este rompecabezas:

Estás en una sala de dimensiones $10$ m $\times$ $10$ m $\times$ $3$ m. También hay un (en forma de punta) mosquito en la habitación pero no sabes dónde (el mosquito es invisible para ti).

Usted tiene un matamoscas eléctrico que puede pasar por el habitación y que matará al mosquito si éste se encuentra dentro de un volumen de aire barrido por el matamoscas.

Su búsqueda para matar al mosquito procede de la siguiente manera:

1. El mosquito se desplaza cualquier distancia hasta 1 m desde su posición actual
2. Se desliza cualquier volumen de aire (no necesariamente continuo) hasta $V_{max}$ con el matamoscas

La pregunta es: ¿Cuál es el valor mínimo de $V_{max}$ que garantice que hay una estrategia que permite matar a los mosquito en un número finito de intentos?

Es trivial demostrar que $V_{max}$ es estrictamente menor que el volumen de la habitación para cualquier habitación de dimensiones finitas y cualquier velocidad de mosquito menor que la dimensión máxima de la habitación, pero no he conseguido encontrar un método para establecer el mínimo.

¿Este rompecabezas se reduce a otro (ya existente) con una respuesta conocida tal vez?

Edición: Prueba de que $V_{max} \le \frac{1}{2} V_{room}$ :

Empezando por cualquier pared, pasa por la "primera mitad" de la habitación. Si no has matado al mosquito, pasa el dedo por la otra mitad de la habitación. Si todavía no has matado al mosquito, sabes que el mosquito debe haber cruzado de una mitad a la otra, lo que significa que ahora está como máximo a 1 m del plano que separa las dos mitades de la habitación. Ahora puedes pasar fácilmente un volumen que garantice la inclusión del mosquito.

Edición 2: Prueba de que $V_{max} \le (1 + \epsilon) m × 10 m × 3m$ :

Como señala @ccorn, sólo hay que empezar por la cara más pequeña de la habitación con un plano $(1+\epsilon)$ m de grosor y proceder a la pared opuesta de la sala en incrementos de $\epsilon$ .

Aquí parece que terminan las estrategias obvias que funcionan "confinando" al mosquito en un espacio cada vez menor. La pregunta que queda es: ¿Es $V_{max}$ menos que el límite probado en la Edición 2?

Edición 3: Prueba de que $V_{max} \gt \frac{4}{3} \pi m^3$ :

Si $V_{max} \le \frac{4}{3} \pi m^3$ (el volumen de una esfera de radio 1 m), cada punto que se deslice tendrá un punto no deslizado a un máximo de 1 m de distancia. Esto significa que al deslizar no se obtiene ninguna información sobre la siguiente posición del mosquito.

Answer 1

No es realmente una respuesta, pero puede servir como punto de partida.

Como se ha señalado en los comentarios (Hagen von Eitzen y ccorn) -y se ha incluido en la pregunta editada-, un volumen de golpes $V > V_0= x \times y \times d$ (donde $x,y$ son los lados más pequeños de la caja y $d$ es la distancia máxima recorrida por el mosquito; aquí $x \times y \times d = 3 m \times 10 m \times 1 m=30 m^3$ ) es suficiente. Se empieza a pasar una rodaja adyacente a la cara más pequeña de la caja.

En general: suponer que antes de pasar el dedo $n$ sabíamos con seguridad que el mosquito era no en el volumen excluido $C_{n}$ y supongamos que pasamos (sin éxito) la región $S_n$ . Ahora, sabemos que el mosquito no está en la región $S_n \cup C_n$ pero en la siguiente iteración puede estar en cualquier lugar a una distancia $d$ Por lo tanto, todo lo que sabemos es que $C_{n+1} = \psi_d(S_n \cup C_n)$ , donde $\psi_d(X)$ es el erosión operador morfológico (resta de la región $X$ todos los puntos que están a una distancia inferior a $d$ de su complemento $\bar X$ ).

El objetivo es construir una secuencia creciente $C_n$ que acaba llenando la caja. Eso es posible con la construcción anterior.

Ahora, supongamos que $V<V_0$ . Entonces, está claro que el enfoque anterior (empezar con una rebanada en la cara más pequeña y tratar de hacerla más gruesa) no funciona: la erosión elimina todo el volumen excluido y no podemos avanzar. Lo que queda (lo que parece difícil) es demostrar que no hay una estrategia mejor, a largo plazo. Por ejemplo, se podría intentar empezar por una esquina (tetraedro) en vez de por una rodaja, de modo que la primera erosión nos deje algún volumen excluido no vacío, pero pronto (al menos, cuando hayamos cubierto la mitad de la caja) perdemos esa ventaja y no podemos progresar.

En concreto, bastaría con demostrar esta conjetura (aparentemente cierta): Sea $A$ sea cualquier región dentro de la caja, con un volumen mayor que la mitad de la caja (y menor que la caja completa). Entonces, el "volumen erosionado" (puntos con distancia inferior a $d$ de $\bar A$ ) es al menos la de la correspondiente rebanada paralela a la cara menor: $V(A) - V(\psi_d(A)) \ge x\times y\times d $