¿Pruebas falsas sobre funciones enteras?

Question

A menudo me encuentro con problemas cuando considero funciones enteras como una especie de "polinomio de grado infinito". Sin embargo, no sé por qué la mayoría de las veces.

Parece intuitivo. Aparte de que la función exp no tiene un cero, por supuesto.

He aquí un ejemplo.

Dejemos que $f(z)$ sea una función analítica tal que $| f(0) | > 0$ y $| f(1)| > 1$ .

Ahora considere los argumentos siguientes que dan una prueba falsa.

Dejemos que $n$ sea el "grado" del polinomio de grado infinito. Tomamos el límite cuando n va al infinito.

Intentemos encontrar soluciones (complejas) $r$ tal que

$$|r| > 1$$

$$ f(r) = 0 $$

Argumentamos lo siguiente :

Por lo tanto, supongamos que $|r|\ge 1$ . Desde $$ f(r) = a_0 + a_1r + \cdots + a_{n-1}r^{n-1} + r^n =0 $$ entonces $$ r = -\frac{a_0}{r^{n-1}} - \frac{a_1}{r^{n-2}} - \cdots - a_{n-1}. $$ Tomando los valores absolutos y utilizando la desigualdad triangular, obtenemos $$ |r| \le \frac{a_0}{|r|^{n-1}} + \frac{a_1}{|r|^{n-2}} + \cdots + |a_{n-1}|. $$ Por último, utilizando esa $|r|\ge 1$ (para que $\frac{1}{|r|}\le 1$ ), obtenemos el límite superior requerido $$ |r| \le |a_0| + \cdots + |a_{n-1}|. $$

¿Desde cuándo? $ n$ Va hasta el infinito entonces $n-1$ También va al infinito y

$$ \infty >> |a_0| + \cdots + |a_{\infty}| >= |f(1)| > 1$$ $$| r | \le |a_0| + \cdots << \infty $$

Pero esto implicaría que hay un límite en los ceros de $f(z)$ . De hecho, en el caso de que $f(z)$ tiene infinitos ceros, todos ellos pertenecen a un valor absoluto, por lo que la función deja de ser analítica.

Esta es una prueba claramente errónea.

Pero, ¿por qué?

Answer 1

Has empezado por asumir $r$ es un cero del polinomio $$g_n(z)=a_0 + a_1z + \cdots + a_{n-1}z^{n-1} + z^n.$$ Demuestra algunas afirmaciones que son verdaderas sobre cualquier raíz de este tipo. Entonces "toma el límite como $n\to\infty$ ", y parecen concluir que afirmaciones similares deben ser ciertas para cualquier cero de la función $f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_kz^k$ . Sin embargo, esto no se deduce en absoluto. Si $r$ es un cero de $f(z)$ entonces es probable que no sea un cero de $g_n(z)$ para cualquier $n$ (por no hablar de todos los $n$ ), por lo que lo que ha demostrado sobre los ceros de $g_n(z)$ no le dice nada sobre $r$ (al menos no de forma evidente).

Además, ni siquiera es cierto que $g_n(z)$ converge a $f(z)$ como $n\to\infty$ . Lo que sí es cierto es que $f_n(z)=a_0 + a_1z + \cdots + a_{n-1}z^{n-1}$ converge a $f(z)$ pero $g_n(z)=f_n(z)+z^n$ estará muy lejos de $f_n(z)$ si $|z|>1$ y $n$ es grande. Así que incluso como un argumento heurístico no riguroso, estás haciendo el cálculo equivocado.