Usando la identidad de Parseval para probar: $\int_{-\pi}^{\pi} \cos^4 x dx = 3\pi/4$ .

Question

Imagen: Por favor, ayúdeme con esta pregunta.

Answer 1

No estoy familiarizado con la identidad de Parseval (¡todavía estoy en la escuela secundaria!) pero puedo utilizar los números complejos para resolver el problema mediante un enfoque diferente. Sabemos que para cualquier número complejo $z=(\cos\theta+i\sin\theta)$ : $$z+\frac{1}{z}=2\cos\theta$$ y $$z^n+\frac{1}{z^n}=2\cos n\theta$$ Podemos utilizarlo para resolver su problema: Dejemos que $z=(\cos\theta+i\sin\theta)$ : $$\big(z+\frac{1}{z}\big)^4=(2\cos\theta)^4=16\cos^4\theta$$ Pero usando la expansión binomial también es igual a $$z^4+4z^3(\frac{1}{z})+6z^2(\frac{1}{z^2})+4z(\frac{1}{z^3})+(\frac{1}{z^4})$$ que se simplifica a $$\big(z^4+\frac{1}{z^4})+4(z^2+\frac{1}{z^2})+6$$ que utilizando nuestras identidades anteriores es igual a $$2\cos 4\theta +4(2\cos 2\theta)+6=2\cos 4\theta +8\cos 2\theta+6$$ Reordenando para encontrar $\cos^4 \theta$ y luego la integración debería ser bastante fácil de aquí en adelante.

Espero que eso ayude :)