¿Cómo puedo encontrar la función de distribución acumulativa del máximo de un número aleatorio de variables I.I.D.?

Question

La pregunta es la siguiente.

Dejemos que $Y = \text{ max } \{ X_{1}, X_{2}, X_{3} \ldots X_{N} \}$

Donde $X_{i} \sim U(0,1)$ y $ N \sim Po(\lambda)$

Determinar $F_{Y}(y) \text{ and } f_{Y}(y) $

Hasta ahora he hecho lo siguiente.

$F_{Y}(y) = 0 \text{ if } y <0 \text{ and } 1 \text { if } y> 1$

Para $0 < y < 1$ , $F_{Y}(y) = P[Y < y] = P[X_{1}+X_{2}+X_{3} + \ldots + X_{n} < ny]$

$ \psi_{X_{1}+X_{2}+X_{3}+\ldots + X_{n}}(t) = \psi_{N}(\ln(\psi_{X_{i}}(t))$

$\psi_{N} = e^{\lambda(e^{t}-1)} \; \psi_{X_{i}} = \frac{e^{1}-1}{t} \text{ so } \psi_N(\ln(\psi_{X_{i}})) = e^{\lambda(\frac{e^t-1}{t}-1)}$

Pero a partir de este punto estoy atascado.

Answer 1

Utilizar la ley de la probabilidad total, la independencia mutua de $N$ y todos $X_\star$ y una distribución idéntica de todos los $X_\star$ .

$$\begin{align}\mathsf P(Y\leqslant y) &= \mathsf P\Bigl(\max\bigl\{X_k:k\in\{1..N\}\bigr\}\leqslant y\Bigr) \\[1ex] &= \mathsf P(N=0)+ \sum_{n=1}^\infty \mathsf P(N=n)~\mathsf P\Bigl(\max\bigl\{X_k:k\in\{1..n\}\bigr\}\leqslant y\Bigm\vert N=n\Bigr) \\[1ex] &= \mathsf P(N=0)+\sum_{n=1}^\infty \mathsf P(N=n)\prod_{k=1}^n\mathsf P(X_k\leqslant y) \\[1ex] &= \sum_{n=0}^\infty \mathsf P(N=n)~\mathsf P(X_1\leqslant y)^n\\[1ex] & ~~~~\vdots \end{align}$$

Sustituya las funciones pmf y CDF pertinentes y luego simplifique. (SUGERENCIA: utilice una serie de Taylor bien conocida).

Answer 2

Es bastante obvio que $Y \mid N$ es una distribución beta; es decir, $$F_{Y \mid N}(y) = \Pr[Y \le y \mid N] = y^{N}, \quad 0 \le y \le 1.$$ Entonces es trivial ver que si $N \sim \operatorname{Poisson}(\lambda)$ tenemos la FCD incondicional de $Y$ $$F_Y(y) = \Pr[Y \le y] = \sum_{n=0}^\infty \Pr[Y \le y \mid N = n]\Pr[N = n] = \sum_{n=0}^\infty y^n e^{-\lambda} \frac{\lambda^n}{n!} = e^{(y-1)\lambda}.$$ Nótese, sin embargo, que aquí hay una sutileza: aunque el apoyo de $Y$ está en $[0,1]$ tenemos $F_Y(0) = e^{-\lambda} > 0$ . Esto significa que la distribución incondicional de $Y$ no es totalmente continua; hay una masa de probabilidad discreta en $Y = 0$ , con probabilidad $\Pr[Y = 0] = e^{-\lambda}$ . Esto se debe a que $Y = 0$ con probabilidad positiva cuando $N = 0$ (no hay $X_i$ s para maximizar), pero si $N > 0$ entonces $Y$ tiene una densidad de probabilidad continua, siendo el máximo de un número no nulo de distribuciones uniformes continuas.