¿Cuándo se produce la igualdad en la desigualdad de Markov?

Question

La desigualdad de Markov establece que dado cualquier variable aleatoria no negativa y $a>0$ entonces tenemos: $$P(X \geq a) \leq \frac{E(X)}{a}$$ ¿En qué valor de $a$ se supone que se cumple la igualdad?

Answer 1

Primero asumimos que $a$ es finito, de lo contrario el resultado es trivial. Definimos la variable aleatoria $Y_{a}=X-a1_{\{X \geq a\}}$, donde $$1_{\{X \geq a}}= \begin{cases} 1, \:\text{si}\; X\geqslant a\\ 0, \:\text{si}\; X< a \end{cases}.$$

Observamos que $Y_a$ es no negativa. Al calcular la esperanza obtenemos $$E(Y_a)=E(X)-aP(X \geq a).$$

Por lo tanto, la desigualdad de Markov se cumple con igualdad si y solo si $E(Y_a)=0$. Dado que $Y_a$ es no negativa, esto es equivalente a que $P(Y_{a}=0)=1$. Notemos que $Y_{a}=0$ si y solo si $X=0$ o $X=a$.

Por lo tanto, la desigualdad de Markov se cumple con igualdad si y solo si $P(X\in\{0,a\})=1$.

Answer 2

Para $X\ge 0$, $$ E[X]=\int_{0}^\infty \Pr[X\ge x] dx\ge \int_{0}^a \Pr[X\ge x] dx\ge (a-0)\cdot \Pr[X\ge a]=a\cdot \Pr[X\ge a]$$

Entonces podemos ver que necesitamos $\Pr[X\ge x]$ constante para $0< x< a$ y $\Pr[X\ge x]=0$ para $x>a$ para tener la igualdad.

Answer 3

Obtienes igualdad cuando $X$ es una variable aleatoria que toma el valor $a$ con probabilidad $1$. Para cualquier variable aleatoria no constante y no negativa, siempre tendrás $P(X \geq a) < E(X)/a$ porque la cantidad $a P(X \geq a)$ es menor o igual a una contribución parcial estricta a la esperanza $E(X).