¿cómo calcular la siguiente expresión?

Question

Dejemos que $f$ sea una función suave y $\alpha >0$ Me gustaría saber cómo calcular la siguiente expresión: $$ A:=\dfrac{d}{dt}\left[\int_0^t f(s) \sin(\alpha(t-s))ds\right] $$ He seguido un método muy sencillo pero creo que está mal. Supuse que $$ \int_0^t f(s) \sin(\alpha(t-s))ds=G(t)-G(0) $$ donde $$G(s)=\int g(s) ds$$ y $$g(s)=f(s)\sin(\alpha(t-s))$$ Entonces tenemos $$ A= \frac{d}{dt}\left(G(t)-G(0)\right)= g(t)=0$$ Pregunta:

¿He cometido algún error?

¿Cómo proceder para calcular este tipo de integral?

Answer 1

Tenga en cuenta que $t$ también está presente en el integrando, por lo que hay que aplicar la regla de la cadena: $$ \frac{d}{dt}\int_0^t g(t,s)ds=g(t,t)+\int_0^t ds \frac{d}{dt}g(t,s)\ . $$ En su caso, $g(t,t)$ es efectivamente igual a cero, pero el segundo trozo no lo es...

Answer 2

Escribe $F(u,t)=\int_0^t f(s) \sin(\alpha(u-s))ds$ y $G(t)=(t,t)$ calcular el diferencial de $F\circ G$

$dF={\partial F\over{\partial u}}du+{\partial F\over{\partial t}}dt$

$=\int_0^t\alpha f(s)cos(\alpha(u-s)du+f(t)sin(\alpha(u-t)dt$

Answer 3

$$ A:=\frac{d}{dt}\left[\int_0^t f(s) \sin(\alpha(t-s))ds\right] =$$ $$=\frac{d}{dt}\left[\sin(\alpha{t})\int_0^t f(s)\cos(\alpha{s}) ds-\cos(\alpha{t})\int_0^t f(s)\sin(\alpha{s}) ds\right]=$$ $$=\alpha\cos{\alpha{t}}\int_0^t f(s)\cos(\alpha{s}) ds+\alpha\sin{\alpha{t}}\int_0^t f(s)\sin(\alpha{s}) ds=$$ $$\alpha\int_{0}^{t}f(s)\cos{(\alpha(t-s))}ds$$