número de funciones no idénticas a cero

Question

El número de funciones no idénticas a cero $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ que satisface la ecuación $f(xy)=f(x)f(y)$ y $f(x+z)=f(x)+f(z)$ para algunos $z$ no es igual a cero

1. un
2. finito
3. contable
4. incontable

Parece que la pregunta se refiere al número de homomorfismos de R a R, pero creo que hay incontables homomorfismos.

Answer 1

El error en tu pensamiento es, principalmente, que adivinar la respuesta y no hacer ningún trabajo matemático real te ayudará a encontrar la solución.

Si crees que hay un número incontable de funciones, entonces intenta mostrar que. Construya al menos un par de ellos, y luego posiblemente "construya" incontables. Probablemente no será tan fácil como crees.

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Sin embargo, para resolver realmente el problema, te sugiero que intentes transformar las dos limitaciones que tienes en algo más. Vea, por ejemplo, lo que ocurre si introduce $x=y=1$ o $x=z=0$ y trabajar a partir de ahí.

Answer 2

Desde $f$ no es idéntico a cero, toma $y$ tal que $f(y)\ne0$ . Entonces $f(y)=f(1y)=f(1)f(y)$ implica $f(1)=1$ .

Tome $x=0$ en $f(x+z)=f(x)+f(z)$ y obtener $f(z)=f(0)+f(z)$ , lo que implica $f(0)=0$ .

Por lo tanto, $f$ es un homomorfismo de anillo $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

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